cours valeursabsolues doc

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Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
2-cours-valeursabsolues.doc VALEURS ABSOLUES I) DEFINITION 1ère approche : une machine à rendre positif On appelle valeur absolue de x notée | x | le nombre x privé de son signe. La valeur absolue permet donc de rendre positif un nombre : • si x > 0 alors | x | = • si x < 0 alors | x | = Ex: | 3 | = | ?2 | = | 3 ? 2 | = | x ? 1 | = ??? ?? si x > 1 si x < 1 2ème approche : une distance entre 2 nombres On cherche à calculer la distance entre deux nombres, c'est à dire la distance qu'il y aurait sur une droite graduée entre les points ayant pour abscisses ces deux nombres. Ex : la distance entre 3 et 2 est : la distance entre 2 et 3 est : la distance entre ?1 et 2 est : Une distance étant toujours positive, la distance entre deux nombres est donc la différence du plus grand par le plus petit. Ainsi la distance entre x et 1 est : ?? ?? ? si x > 1 si x < 1 On voit donc que la distance entre x et 1 est toujours égale à | x ? 1 | Plus généralement, x et y étant deux réels quelconques, | x ? y | est la distance entre x et y Synthèse Une valeur absolue peut être interprétée comme : Pour la calculer : • une machine à rendre positif • si le nombre est positif,

• ?? ??


• propriétés des racines carrées


• exo-equations-valeursabsolues


• propriété


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Sujets

• Première
• Mathématiques
• Propriété

Informations

• Publié par: cours_de_mathematiques
• Nombre de lectures: 42
• Langue: Français

Extrait

2-cours-valeursabsolues.doc 

VALEURS ABSOLUES     I) DEFINITION 1 ère approche : "une machine à rendre positif" On appelle valeur absolue dxe notée |x | le nombrxe "privé de son signe". La valeur absolue permect doen "rendre positif" un nombre : six  0 alorsx | = six  0 alorsx | = Ex: | 3 | =  | −2 | = | 3 − 2 | =       x  s  i1  |x − 1 |     = x         1 is           2 ème approche : "une distance entre 2 nombres" On cherche à calculer la distance entre deux nosm, bcr'eoidruntddiirset tl aà   qus'ancea ruliy us ria te  graduée entre les points ayant pour abscisses ceeusx  dnombres.  Ex : et 2 est : 3 distance entre la  1 2 −1 0    la distance entre 2 et3 est :    la distance entre −1 et 2 est : 3   Une distance étant toujours positive, la distanncter ee deux nombres est donc la différence du plaunsd  grpar le  plus petit. Ainsi la distance entxreet 1 est      : x x               1  1 si     is      On voit donc que la distance enxtret 1 est toujours égalexà−| 1 | Plus généralement,xety deux réels quelconques, étantx |−y la distance ent | estxreety     Synthèse Une valeur absolue peut être interprétée comme : ur Ploa calculer : une machine à rendre positifsi le nombre est positif, il ne change pas s'il est négatif, on le multiplie par −1 la distance entre 2 nombresplus grand − plus petit   Remarques :pour toutx de: |x| =x| − 0 | doncx | peut être interprétée comme la distance exe etnrt 0. xet −x sont à la même distance de 0 doxcn| = |  |x− | Soit A(x; 0) dans un repère orthonormal, on a donc :  OA (=x  A −x  O ) 2 +y( A −y  O ) 2  =x 2   de plus, O et A étant situés sur l’axe des abss cqisusie est une droite graduée,  on a donc aussi : OAx=− | 0 | =x |      Bilan : pour touxt de,x 2 =x| |  

Utiliser la fonction abs() de la calculatrice p57: 77, 78 p59: 133, 13,5 136 

II) OPERATIONS AVEC DES VALEURS ABSOLUES

1) Propriétés

xety des réels quelconques : étant Propriété Exemple

|x+y ||x | +y| | |x y| =x| |y| |

  x   |x | =    y  |y |      

2) Démonstrations

| 2 + (−3) | 2 | + | −3 |

 

| 2 × (−3) | = | 2 | × | −3 |

 2  | 2 | (−3)   = | −3 |

 

(y 0 !)

Démontrons quex| +y | |x | +y| | en utilisant l’inégalité triangulaire : Soit une droite graduée de repère (O ; I). Pour tous réelsx ety nlpca e ,o ic d Abs’a plentoixsset le point B d’abscissye. − On a :x| +y | =x| − (y− ) | = AB  |x | = OA  |y | = |y = OB− |   Or d’après l’inégalité triangulaire, AB OA + OB donc |x +y ||x | +y| |     Démontrons que |x y| =x| | |y | en utilisant les propriétés des racines car:rées Pour tous réelsx ety, 2 2 |x y| = (x y) 2  =x 2  y 2     x   y =x| |y| | =      

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Calculer : | | 2 7| − 5 | − | − | 2 3 | + |4 | − | 2 −    | (2 −) 2 − 1 | − | 2 | −   |x+ 1 | ×x   1 | +| |x 2 − 1 | |x− 1 |

III) EQUATIONS ET INEQUATIONS AVEC DES VALEURS ABSOLUES

1) Propriétés

αétant un réel strictemenpto sitif: |x| = 0   x = 0     |x| =α      x = −αoux   α = |x|    <α       α− <x <α  |x| >    α      x < −αoux >α  |x| =y| |   x =y oux =y−

    2) Utilisation dans les exercices

- -

-

α α α

     

0

0 0

 

   

Ex : |x| = 3 x= −3 oxu = 3 |x 2 | = 5 x− 2 = −5xou− 2 = 5  x= −3 oxu = 7 − |x+ 5 | = 1 x+ 5 = −1xou+ 5 =1x= −6 oxu = −4    |x+ 2| 3−3  x+ 2 3−5 x 1 | 1 −x |21 −x −2 ou 1x− 23 xou −1  x  | 3x + 2 | > 1 3x + 2 < −1 oux 3+ 2 > 1

 3x < −3 oux −13 > x< −1 oxu > −1/3   Remarque :et siα 0 ? < |xcnod evitagén er = S rbalaueenv : u t êt peue nesolu|  −3=    |x: une valeur absolue ne peut être négative| 3  Sdo=nc −    |x|−3 : une valeur absolue est toujours positive  dSon=c    

α α α

 

   

S = {−3 ; 3}

     

S = {−3 ; 7}

S = {−6 ; −4}

S = [−5 ; 1]

S = ]− ; −1] [3 ;+[

S =]−; −1[ ; ]−1/3+[

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p57: 80, 81, 82, 83, 84,, 859 p58: 100, 102, 10,4107

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3) Et si les propriétés ci-dessus ne permettent pas de résoudre l’équation ?

On peut alors distinguer plusieurs cas pour "ftaoirme ber" les valeurs absolues :    Ex : Commentaires :  (E) :x 1 | =| +x On ne peut utiliser ici la propriété :3− 1 2 cas :  |x| =α   x= −αoux =α   Six −1 alorsx + 1 donc 0x| + 1 |x  car  1= + α, c’est à direx3 − 1 n’est pas   (E)    x −1 ⇔       x x     =   − +  1 1x3 − 1  forcément positif !!   2x=   ⇔     x    1−  2  ⇔    x x  −    1 1=         x= 1   Six −1 alorsx + 1 0 doncx| + 1 | =x− 1−            ( x E  −1 )  ⇔       x −  x 1 −   1 −  = x 13 −    4x= 0 ⇔    x −1 ⇔      x= 0    x −1 il n’y a pas de solution dans ce cas   Bilan : S = { 1 }       (I) : | 1x −| >x On ne peut utiliser ici la propriété : 2 cas : |x| >α   x< −αoux >α  Six 1 alors 1x− 0 donc | 1x| − =x − 1 carα, c’est à dirxe n’est pas forcément I)      ( x 1 ⇔       x x    −1 >   1 x  !! positif ⇔    0x> 1     x 1 il n’y a pas de solutions dans ce cas   Six 1 alors 1x− 0 donc | 1x−| = 1x− x      ( x I) 1 ⇔       x 1  −x 1     >  > 2x  ⇔       1 x 1       x< 1/2 ⇔    x 1     x< 1/2   Bilan : S ]; 1/2[  = −  

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