Suites arithmétiques et géométriques

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Suites arithmétiques et géométriques Table desmatières I Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 II Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 III Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Activité 1 Partie 1 1. u0 = 38400 ; u1 = u0?400= 38000 ; u2 = u1?400= 37600 ; u3 = u2?400= 37200. Plus généralement : un+1 = un ?400. On a une suite arithmétique, de raison r =?400 et de premier terme u0 = 38400. 2. Pour tout n, un = 38400?400n. 3. u6 = 38400?6?400= 36000. La production après 6 mois est de 36 000 unités. (production du mois de juillet 2006).

• exem- plaires hebdomadaires


• v1? b3?1


• unenotation indicielle


• v17 ≈


• capital initial


• up ?


• uns fois

Sujets

• Première
• Mathématiques
• Durand

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• Publié par: Ecole-pour-tous
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• Langue: Français

Extrait

Suites arithmétiques et géométriques

Table des matières I Suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 II Suitesarithmétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 III Suitesgéométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Activité 1 Partie 1 1.u 0 =38 400 ;u 1 =u 0 −400=38 000 ;u 2 =u 1 −400=37 600 ;u 3 =u 2 −400=37 200. Plus généralement :u n+1 =u n −400. On a une suite arithmétique, de raisonr= −400 et de premier termeu 0 =38 400. 2. Pourtoutn,u n =38 400−400n. 3.u 6 =38 400−6×400=36 000. La production après 6 mois est de 36 000 unités. (production du mois de juillet 2006). 4.u n =400s’écrit : 3819 200−400n=19 200. On trouven=48. Ce sera la production quatre ans après, donc en janvier 2010. Partie 2

Mois Productionmensuelle en unitésCumul à partir de juillet 2006 Juillet 2006u 6 =36 000u 6 =36 000 Août 2006u 7 =35 600u 6 +u 7 =71 600 Septembre 2006u 8 =35 200u 6 +u 7 +u 8 =106 800 octobre 2006u 9 =34 800u 6 +u 7 +u 8 +u 9 =141 600 Novembre 2006u 10 =34 400u 6 +u 7 +u 8 +u 9 +u 10 =176 000 Décembre 2006u 11 =34 000u 6 +u 7 +u 8 +u 9 +u 10 +u 11 =200 000 Partie 3

1. Mars2007 correspond àn=14. u 14 =38 400−14×400=32 800 unités. 38 400 2.u n =4000 donne 38−400n=0 soitn= =96. 400 La production aura cessé dans 8 ans, soit en janvier 2014.

1

I Suites Définition et notation Une suite (numérique) est une suite illimitée de termes. Si la suite s’appelleu, les termes se notentu(0),u(1), . . .,u(n), etc. ou encore, avec une notation indicielle u 0 ,u 1 ,u 2 , etc. Le terme général est alorsu n et l’ensemble des termes de la suite se note (u n ).

II Suitesarithmétiques

Définition Une suite (u n ) est arithmétique s’il existe un nombrer, appelé raison de la suite, tel que, pour toutn, u n+1 =u n +r. La différence entre deux termes consécutifs est constante. Exemplesla suite des entiers naturels, la suite des entiers naturels pairs, la hauteur gravie en montant un: escalier.

Remarque :on a : u 1 =u 0 +r u 2 =u 1 +r= ( u 0 +r ) +r=u 0 +2r u 3 =u 2 +r= ( u 0 +2r ) +r=u 0 +3r. On en déduit la propriété suivante : Propriété Pour toutn,u n =u 0 +nrouu n =u p +(n−p)rpourpÊn

Somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique

Propriété Soit (u n ) une suite arithmétique. er 1 termedeS+dernier terme deS SoitSla somme de termes consécutifs ; alors :S=nombre de termes×. 2 (n+1) (u 0 +u n ) Alors :S n =u 0 =u 1 + ∙ ∙ ∙ +u n =(il y a n+1 termes) 2 u p +u n SiS n =u p +u p+1 + ∙ ∙ ∙ +u n ,S=(n−p+1)× 2 Explication : On écritSde deux façons différentes, une fois en commençant par le premier terme, uns fois en commençant ¡ ¢¡ ¢¡ ¢¡ ¢ par le dernier terme.S=u p +u p +r+u p +2r+ ∙ ∙ ∙ +u p +(n−p−1)r+u p +(n−p)r. ¡ ¢¡ ¢ S=u n + ( u n −r ) + ( u ) + ( u n +2r ) + ∙ ∙ ∙ +u n −(n+p−1)r+u n −(n+p)r. En additionnant terme à terme, on voit qu’on obtient toujours la même somme :u p +u n . ¡ ¢u p +u n Par conséquent : 2S=nombre de termes×u p +u n doncS=(n−p+1)×. 2 Exemples :

•S=1+2+3+ ∙ ∙ ∙ +n; c’est la somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique, de raisonr=1. On

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1+n n(n+1) obtientS=n×doncS=. 2 2 •Soit (u n ) la suite arithmétique de raisonr=0, 2et de premier termeu 0 =3. SoitS=u 3 +u 4 + ∙ ∙ ∙ +u 15 . u 3 +u 15 Alors :S=13 avecu 3 =u 0 +3r=3+3×0, 2=3, 6etu 15 =u 0 +15r=3+15×0, 2=6. 2 3, 6+6 13×9, 6 Par conséquent :S=13=× =62, 4. 2 2

Exercices page 43

Activité 2 page 31 (suites géométriques) Partie 1 :Les taux sont de 20 %.Partie 2 : 1. Onposev 1 =150. On obtient :v 2 =180 ;v 3 =216 ;v 4 =259, 2. Pour toutnÊ1,v n+1 =1, 2v n . Le premier terme estv 1 =150 et la raisonb=1, 2. n−1n−1 2. Onav n =v 1 ×bdoncv n =150×1, 2. 6 3.v 6 =150×1, 2≈373. Le nombre de livres vendus la sixième semaine sera environ de 373. Partie 3 : Semaine Nombrede livres vendusCumul Semaine 1v 1 =150v 1 =150 Semaine 2v 2 =180v 1 +v 2 =330 Semaine 3v 3 =216v 1 +v 2 +v 3 =546 Semaine 4v 4 =259, 2v 1 +v 2 +v 3 +v 4 =805, 2 Semaine 5v 5 =311, 04v 1 +v 2 +v 3 +v 4 +v 5 =1116, 24 Semaine 6v 6 =373, 248v 1 +v 2 +v 3 +v 4 +v 5 +v 6 =1489, 488 3 33 b−1 1,2−1b−1 v 1 × =150× =546 doncv 1 × =v 1 +v 2 +v 3 . b−21 1,−1b−1 6 b−1 De même,v 1 + ∙ ∙ ∙ +v 6 =v 1 b−1 Partie 4 : n−1 14 e 1. La15 semainecorrespond àn=15.v 15 =v 1 ×b=150×1, 2≈1926. n n−1n−1 2.v n+1 −v n =150×1, 2−150×1, 2=150×(1, 21, 2−1)>0 donc la suite (v n ) est croissante. 3.v 17 ≈2773, 263883 ;v 18 ≈3327, 91666. Comme la suite est croissante, c’est à partir de la dixhuitième semaine que la vente dépasse 3000 exem plaires hebdomadaires vendus.

III Suitesgéométriques

Définition Une suite (u n ) est géométrique s’il existe un nombreq, appelé raison de la suite, tel que, pour toutn, u n+1 =q×u n . Chaque terme est obtenu à partir du précédent en multipliant toujours par le même nombre.

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Exemple : Monsieur Durand place une somme de 1 000 e à un taux d’intérêts composés de 4 %. On noteC 0 le capital initial etC n le capital au bout denannées. µ ¶ 4 Pour toutn, on a :C n+1 =C n ×1+ =1, 04C n donc (C n ) est une suite géométrique, de premier terme 100 C 0 =1 000 etde raisonq=1, 04.

Propriété : Terme général Soit (u n ) une suite géométrique de raisonq. n n−p u n =u 0 ×qouu n =u p qpour toutnÊp.

Justification : On a : u 1 =u 0 ×q ¡ ¢ 2 u 2 =u 1 ×q=u 0 ×q×q=u 0 ×q ¡ ¢¡ ¢ 2 33 4n u 3 =u 2 ×q=u 0 ×q×q=u 0 ×q u 4 =u 3 ×q=u 0 ×q×q=u 0 ×q. . .u n =u 0 ×q. Exercices

Propriété : Somme de termes consécutifs Soit (u n ) une suite géométrique de raisonq. SoitS=u p +u p+1 + ∙ ∙ ∙ +u n . nombre de termes de la somme q−1 Alors :S=Premier terme de la somme×. q−1 n−p+1n−p+1 q−1 1−q Autrement dit :S=u p ×qu’on peut aussi écrireS=u p × q−1 1−q

Exemples : 19 q−1 S=u 5 +u 6 + ∙ ∙ ∙ +u 23 =u 5 ×car la somme comprend 19 termes. q−1 Exercices :

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