Baccalauréat C groupe

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C groupe 1 1 1988 \ EXERCICE 1 5 POINTS Soit dans le plan P orienté un triangle ABC rectangle en A tel que AC = 2AB et (???AB ,???AC ) = pi 2 +2kpi, k ? Z. Soit C (B) le cercle de centre B et de rayon AB et C (C)le cercle de centre C et de rayon AC. Ces deux cercles passent par A. On appelle E leur second point d'intersection. 1. Soit S une similitude directe transformant C (B) en C (C). Quelle est la valeur du rapport de la similitude S ? On désigne par I le centre de S. Quelle est la valeur du rapport ICIB ? Quel est l'ensemble (?) des centres I des similitudes directes transformant C (B) en C (C) ? 2. Soit SA la similitude directe de centre A transformant B en C. Soit F le point de C (C) diamétralement opposé à à E. Démontrer que l'image de E par SA est le point F. EXERCICE 2 5 POINTS Soit ? un réel appartenant à l'intervalle ] ? pi 2 ; pi 2 [ . On considère l'équation (E) d'inconnue complexe z : (E) z2 cos2??4zcos?+5?cos2? = 0. 1.

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• limites de fn aux bornes de l'intervalle


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Informations

• Publié par: apmep
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• Langue: Français

Extrait

1 [1988Baccalauréat C groupe 1\

E X E R C IC E 1 5 P O IN TS Soit dans le planPorienté un triangle ABC rectangle en A tel que AC = 2AB et ³ ´ −→−→ π AB , AC= +2kπ,k∈Z. SoitC(B) le cercle de centre B et de rayon AB etC(C) 2 le cercle de centre C et de rayon AC. Ces deux cercles passent par A. On appelle E leur second point d’intersection. 1.Soit S une similitude directe transformantC(B) enC(C). Quelle est la valeur du rapport de la similitude S ? IC On désigne par I le centre de S. Quelle est la valeur du rapport? IB Quel est l’ensemble (Γ) des centres I des similitudes directes transformant C(B) enC(C) ? 2.Soit S A la similitude directe de centre A transformant B en C. Soit F le point deC(C) diamétralement opposé à à E. Démontrer que l’image de E par S A est le point F.

E X E R C IC E 2 i h π π Soitθun réel appartenant à l’intervalle−; . 2 2 On considère l’équation (E) d’inconnue complexez:

5 P O IN TS

2 22 (E)zcosθ−4zco sθ+5−cosθ=0. 1.Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes. Préciser pour quelle valeur deθl’équation admet une racine double. Donner la valeur de cette racine double. 2.SoitPle plan complexe rapporté à un repère orthonormal. ′ ′′ On appelleMetMles points dePdont les affixes respectives sont les nombres ′ ′′ zetzsolutions de l’équation (E). ′ ′′ Montrer que lorsqueθvarie,MetMse déplacent sur une hyperbole (H). Déterminer le centre, les sommets et les asymptotes de (H). Tracer (H). i h π π 3.Montrer que, lorsqueθdécrit l’intervalle−; ,l’ensembleEdécrit par 2 2 ′ ′′ les pointsMetMest une branche de (H).

P R O B L È M E 10 P O IN TS Le problème propose l’étude d’une famille de fonctions (partie A), d’une suite (par tie B) et d’une courbe (partie C) définies à partir de ces fonctions. ADans cette partie, on met en place des résultats qui seront utilisés dans les parties B et C. ∗ On désigne par ln le logarithme népérien et parNl’ensemble des entiers naturels strictement positifs. ∗ On considère, pour toutndeN, la fonctionf n , à valeurs dansR, définie sur l’inter valle ]0 ;+∞[ par : lnx f n (x)=. n x 1. Amiens Paris  Créteil  Versailles  Lille  Rouen

Le baccalauréat de 1988

A. P. M. E. P.

1.Déterminer les limites def n aux bornes de l’intervalle ]0 ;+∞[. Étudier les variations def n . 2.Construire la courbe représentative (C 1 ) de la fonctionf 1 dans le plan rap porté à un repère orthonormal. Préciser ses asymptotes. 3.Pour tout réelXsupérieur ou égal à 1 on pose : Z X I n (X)=f n (t) dt. 1 (La justification de l’existence deI n propriété connue, n’est pas demandée.) a.CalculerI 1 (X). b.En utilisant une intégration par parties, calculerI n (X) en fonction den et deX, pournsupérieur ou égal à 2. Déduire de ce résultat la valeur de l’intégrale : Z X f 2 (t) dt. 2 c.Soitnun entier naturel non nul fixé. Calculer la limite deI n (X) quandXtend vers+∞. (On distinguera deux casn=1 etn > 2). Z X Calculer la limite quandXtend vers+∞def 2 (t) dt. 2

BÉtude d’une suite définie à partir def 2 . On considère la fonctionf 2 définie en A par : lnx f 2 (x)=. 2 x 1.Montrer que pour tout entier naturelk,k > 2 : Z k+1 f 2 (k+1) 6 f 2 (t) dt 6 f 2 (k). k (On peut utiliser le sens de variation def 2 ) 2.On considère la suiteSdéfinie par son terme général ln 2 In 3 ln p ln 2ln 3lnp S p = + +∙ ∙ ∙ + 2 22 2 3p oùpest un entier naturel supérieur ou égal à 2. a.Montrer que la suiteSest croissante. b.En utilisant B 1., montrer que : Z p ln 2lnp S p − 6 f 2 (t) dt 6 S p − 2 2 2 2 p et en déduire un encadrement deS p . Z p c.En utilisant la valeur def 2 (t) dttrouvée en A, montrer que la suiteS 2 est majorée. d.Montrer que la suiteSest convergente et que sa limiteLvérifie : 1 ln2 1ln 2 + 6 L 6 +3 2 22 4

Amiens  Paris  Créteil

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juin 1988

Le baccalauréat de 1988

A. P. M. E. P.

CÉtude d’une courbe définie paramétriquement à partir des fonctionsf n . On considère la courbe (Γ 1 ) définie paramétriquement par : ½ x=f 1 (t) y=f 2 (t) oùtest un réel appartenant à l’intervalle [1 ; 10]. 1.ctions qui àReprésenter dans un même tableau les variations des deux font associent respectivementx(t) ety(t). ³ ´ −→−→ 2.Représenter la courbe (Γ 1 O,) dans un repère orthonormalı,.(unité : 20 cm). Préciser les points de (Γ 1 ) en lesquels les tangentes sont parallèles à l’un ou l’autre des axes de coordonnées.

Amiens  Paris  Créteil

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juin 1988