Baccalauréat C Métropole groupe 1 1 juin 1992

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole groupe 1 1 juin 1992 \ EXERCICE 1 4 points 1. Résoudre dans C l'équation : z3+ z2+2z?4= 0 sachant que l'une de ses solutions est un nombre entier. 2. Dans le plan rapporté au repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) , on considère les points M1, M2, M3 et? d'affixes respectives +1, ?1+ i p3, ?1? ip3 et ?1. Soit (E) l'ellipse de centre? passant par les points M1 et M2 ; son axe focal est l'axe des abscisses. a. Trouver les foyers, les directrices associées et l'excentricité de (E). b. Déterminer une équation cartésienne de (E) dans le repère ( O, ??u , ??v ) . c. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de (E) et de l'axe des ordonnées. Tracer (E). EXERCICE 2 4 points Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que : (???AB , ???AC ) = pi 2 modulo 2pi et (???BC , ???BA ) = pi 3 modulo 2pi. Soit I le symétrique de A par rapport au milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

• position relative de la courbe c1


• courbe représentative de fn dans le repère orthonormal


• plan rapporté au repère orthonormal


• créteil


• rouen

Sujets

• Créteil

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Extrait

Durée : 4 heures

1 [juin 1992Baccalauréat C Métropole groupe 1\

E X E R C IC E 1

1.Résoudre dansCl’équation :

4 points

3 2 z+z+2z−4=0 sachant que l’une de ses solutions est un nombre entier. ³ ´ −→−→ 2.O,Dans le plan rapporté au repère orthonormalu,v, on considère les points M 1 , M 2 , M 3 etΩd’affixes respectives+1,−1+i 3,−1−eti 3−1. Soit (E) l’ellipse de centreΩpassant par les points M 1 et M 2 ; son axe focal est l’axe des abscisses. a.Trouver les foyers, les directrices associées et l’excentricité de (E). ³ ´ −→−→ b.O,Déterminer une équation cartésienne de (E) dans le repèreu,v. c.Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (E) et de l’axe des ordonnées. Tracer (E).

E X E R C IC E 2 4points Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que : ³ ´³ ´ −→−→ π −→−→ π AB ,AC=modulo 2πet BC, BA=modulo 2π. 2 3 Soit I le symétrique de A par rapport au milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. 1.Soit S 1 la similitude directe de centre A qui transforme H en B. a.Déterminer les éléments caractéristiques de S 1 . b.Montrer que S 1 (C) = I. En déduire l’image de la droite (BC) par S 1 . 2.Soit S 2 la similitude directe de centre A qui transforme B en C. a.Déterminer l’image de la droite (BI) par S 2 . ′ ′ b.SoientMun point de (BI),Mson image par S 2 . On suppose queMetM sont distincts de I. ′ Montrer que les quatre points (A,M, I,M) sont cocycliques.

P R O B L È M E 12 points Dans tout le problèmendésigneun entier naturel non nul. À tout entier naturelnnon nul, on associe la fonctionf n définie sur ]−1 ;+∞[ par :

n f n (x)=xln(1+x). Le problème est consacré à l’étude de la famille des fonctionsf n et à celle d’une suite liée à ces fonctionsf n . ³ ´ −→−→ On désigne parC n la courbe représentative def n O,dans le repère orthonormalı, d’unité graphique 2 cm.

I.: Étude des fonctionsf n

1. AmiensCréteilLilleParisRouenVersailles

Terminale C

1.Soith n la fonction définie sur ]−1 ;+∞[ par : x h n (x)=nln(1+x)+. 1+x

A. P. M. E. P.

Étudier le sens de variation deh n . En utilisant la valeur deh n (0),déterminer le signe deh n sur ]−1 ;+∞[. 2. a.Pour toutxappartenant à ]−1 ;+∞[ vérifier que :

′ f(x)=h 1 (x), 1

et que pour toutnstrictement supérieur à 1, ′n−1 f)=x n (x h n (x). b.On supposenimpair. Pour toutxappartenant à ]−1 ;+∞[ justifier que ′ f(x)xeth n (x) sont de même signe. n Dresser alors le tableau de variations de la fonctionf n , lorsquenest im pair, en précisant ses limites en−1 et+∞. c.On supposenpair. Dressez de même le tableau de variations def n lorsque nest pair, en précisant ses limites en−1 et+∞. 3. a.Étudier la position relative des courbesC 1 etC 2 . b.Tracer ces deux courbes.

II.: Étude d’une suite Dans cette partie,Udésigne la suite de terme généralU n définie pour toutnentier naturel non nul par : Z 1 n U n =xln(1+x) dx. 0 1.Étude de la convergence a.Démontrer que : ln 2 0 6 U n 6 . n+1 b.En déduire que la suiteUest convergente et donner sa limite. c.À l’aide de l’encadrement obtenu aua., déterminer un entier natureln 0 tel que pour toutn > n 0 , on ait : 1 0 6 U n 6 . 100 2.Calcul deU 1 a.En remarquant que pour toutxappartenant à [0 ; 1] on a 2 x1 =x−1+ 1+x1+x calculer Z 1 2 x dx. 0 1+x b.CalculerU 1 au moyen d’une intégration par parties. 3.Calcul deU n k=n Pour toutxde [0 ; 1] et pour toutn > 2,on pose : n n S n (x)=1−x+ ∙ ∙ ∙ +(−1)x(1)

Paris, Créteil, Versailles, Amiens, Lille, Rouen 2

juin 1992

Terminale C

A. P. M. E. P.

a.Démontrer que : n+1n+1 1 (−1)x S n (x)= −[2]. 1+x1+x b.En utilisant successivement les expressions (1) et (2) deS n (x),montrer que : Z n 1 n+1 1 (−1)x n+1 1=∙ ∙ ∙ +− +ln 2−(−1) dx. 2n+1 0 1+x c.En utilisant une intégration par parties et le résultat précédent, démon trer que : · µ¶¸ n+1n ln 2(−(1) 1−1) U n = −ln 2−1− +∙ ∙ ∙ + n+1n+1 2n+1 4.Application Soit E l’ensemble des pointsMdu plan, de coordonnées (x;y) vérifiant :

0 6 x 6 1 etf 2 (x) 6 y 6 f 1 (x). 2 CalculerU 2 et en déduire l’aire de E en cm.

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