Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie mars

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie mars 2004 \ EXERCICE 1 4 points Dans le plan complexeP muni d'un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) , on consi- dère le quadrilatère ABCD tel que : (?? AB , ??? AD ) =? [2π], (??? CD , ??? CB ) =? [2π], 0

• plan complexep


• centre du carré


• centre de gravité du triangle ebd


• ??? ad


• axe des ordonnées


• équation cartésienne du plan abd

Sujets

• Coordonnées cartésiennes

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mars 2004
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie mars 2004\

E X E R C IC E points1 4 ³ ´ −→−→ Dans le plan complexePO,muni d’un repère orthonormal directu,v, on consi dère le quadrilatère ABCD tel que : ³ ´³ ´ −→−→−→−→ AB ,AD=α[2π, CB], CD=β[2π], 0<α<π, 0<β<π. On construit les triangles équilatéraux DCP, DAQ, BAM et BCN tels que : ³ ´³ ´ −→−→ π −→−−→ π DC ,DP=[2π, DQ], DA=[2π] 3 3 ³ ´³ ´ −→−−→ π −→−→ π BA ,BM=[2πBN] etBC ,=[2π] 3 3 Soita,b,cetdles affixes respectives des points A, B, C et D,m,n,petqles affixes respectives des points M, N, P et Q. 1.Démontrer les relations suivantes :

π i 3 m=e (a−b)+b,

π i 3 n=e (c−b)+b,

π π i i 3 3 p=e (c−d)+d,q=e (a−d)+d. 2.En utilisant les relations précédentes : a.Démontrer que MNPQ est un parallélogrammme. b.Démontrer que l’on a : ³ ´ −→−→ π AC ,QP=[2π], AC=QP 3 ³ ´ −→−→ π NP ,BD=[2π], etNP=BD. 3 3.Démontrer que MNPQ est un carré si, et seulement si, les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD vérifient : ³ ´ −→−→ π AC=AC , BDBD et= +kπ 6 oùkest un entier relatif.

E X E R C IC E 2

On considère le cube ABCDEFGH cicontre. O 1 et O 2 sont les centres des carrés ABCD et EFGH, et I est le centre de gravité du triangle F EBD. Soitmun nombre réel etG m le barycentre du système de points pondérés :

Partie A

E

A

G

B C {(E ; 1),(B ;1−m), (G ; 2m−1), (D; 1−m)}

5 points

H

D

Terminale S

A. P. M. E. P.

1.Justifier l’existence du pointG m . 2.Préciser la position du point G 1 . 3.Vérifier que G 0 = A. En déduire que les points A, I et G sont aIignés. −−−→−−→ 4.Démontrer que AG m =mAO 2 . En déduire l’ensemble des pointsG m lorsque mparcourt l’ensemble des nombres réels. 5. a.Vérifier que les points A,G m , E et O 1 sont coplanaires. b.Déterminer la valeur dempour laquelleG m se trouve sur la droite (EI).

Partie B ³ ´ −→−→→− Dans cette question, l’espace est rapporté au repère orthonormalA ;AB ,AD , AE.

1.Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (EBD). En déduire une équation cartésienne du plan ABD. 2.Déterminer les coordonnées du pointG m . 3.Pour quelles valeurs dem, la distance deG m au plan (EBD) estelle égale à p 3 ? 3

E X E R C IC E 3

Partie A étude d’une fonction On considère la fonctionfdéfinie surRpar

11 points

−x−2x f(x)=1+e−2e ³ ´ −→−→ etCO,sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthogonalı,, (unités graphiques : 3 cm sur l’axe des abscisses et 8 cm sur l’axe des ordonnées). 2 1. a.Soit le polynômePdéfini surRparP(X)=1+X−2X. Étudier le signe deP(X). b.En déduire le signe def(x) surR. c.Que peuton en déduire pour la courbeC? 2.Déterminer la limite de la fonctionfen+∞. Qu’en déduire pour la courbe C? ¡ ¢ −2x2x x 3.Vérifier quef(x)=e e+e−2 ,puis déterminer la limite defen−∞. ′ ′ 4. a.Soitfla fonction dérivee de la fonctionf, calculerf(x). ′x b.Montrer quef(x) a Ie même signe que (4−puis étudier le signe dee ), ′ f(x). c.Dresser le tableau de variations def. On montrera que le maximum est un nombre rationnel. 5. a.Démontrer que la courbeCet la droiteDd’équationy=1 n’ont qu’un point d’intersectionAdont on déterminera les coordonnées. b.Étudier la position de la courbeCpar rapport a la droiteD. 6.Déterminer une équation de la tangenteTà la courbeCau pointA. 7.Tracer les droitesDetT, puis la courbeC.

Partie B étude d’une suite

Nouvelle–Calédonie

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mars 2004

Terminale S

A. P. M. E. P.

1.Calculer l’aire, en unités d’aire, de la partie de plan limitée par la courbeC l’axe des ordonnées et la droiteD. ∗ 2.On considère la suite (u n ) définie surNpar : Z n+ln 2 £ ¤ u n =f(x)−1 dx. (n−1)+ln 2 a.Démontrer que la suite (u n ) est à termes positifs. b.Donner une interprétation géométrique de (u n ). 3. a.En utilisant le sens de variation def, montrer que, pour toutnÊ2 : six∈[(n−1)+ln 2 ;n+alorsln 2]

f(n+ln 2)−1Éf(x)−1Éf[(n−1)+ln 2]−1.

b.En déduire que, pour toutn,nÊ2, on a :

f(n+ln 2)−1Éu n Éf[(n−1)+ln 2]−1.

c.Démontrer que la suite (u n ) est décroissante à partir du rang 2. d.Montrer que la suite (u n ) est convergente. 4.Soit la suite (S n ) définie pourn>0, par

S n =u 1 +u 2 +u 3 + ∙ ∙ ∙ +u n . a.ÉcrireS n à l’aide d’une intégrale. b.Interpréter géométriquementS n . c.CalculerS n et déterminer la limite de la suite (S n ).

Nouvelle–Calédonie

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