CAPES externe et CAFEP de Mathématiques Session

Description

Niveau: Supérieur, Bac+5

• exposé

CAPES externe et CAFEP de Mathématiques — Session 2008 EXPOSÉS 1. Utilisation d'arbres, de tableaux, de diagrammes pour des exemples de dénombrement. Dénombrement des arrangements et des permutations. 2. Exemples de problèmes dont la résolution fait appel à l'utilisation de graphes, orientés ou non. 3. Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme. Applications. 4. Description mathématique d'une expérience aléatoire : événements élémentaires, événements, probabilité (on se limitera au cas où l'ensemble d'événements élémentaires est fini). 5. Probabilité conditionnelle ; indépendance de deux événements (on se limitera au cas où l'ensemble d'épreuves est fini). Applications à des calculs de probabilité. 6. Variable aléatoire à valeurs réelles dont l'ensemble des valeurs est fini. Loi de probabilité. Espérance mathé- matique, variance. Exemples. 7. Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. 8. Séries statistiques à deux variables numériques. Nuage de points associé. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Droites de régression. Applications. L'exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l'utilisation d'une calculatrice. 9. Propriétés axiomatiques de N. Construction de Z. 10. Division euclidienne dans Z, unicité du quotient et du reste. Applications. L'exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l'utilisation d'une calculatrice.

• division euclidienne dans z


• applications du produit scalaire et du produit vectoriel dans l'espace orienté


• résolution dans z


• opérations algébriques


• variable réelle

Sujets

• Exposé
• Thalès

Informations

• Publié par: profil-meshug-2012
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• Langue: Français

Extrait

CAPES externe et CAFEP de Mathmatiques — Session 2008

EXPOSÈS 1. Utilisationd’arbres, de tableaux, de diagrammes pour des exemples de dnombrement. Dnombrement des arrangements et des permutations. 2. Exemplesde problmes dont la rsolution fait appel À l’utilisation de graphes, orients ou non. 3. Coefficientsbinomiaux, dnombrement des combinaisons, formule du binÔme. Applications. 4. Descriptionmathmatique d’une exprience alatoire : vnements lmentaires, vnements, probabilit (on se limitera au cas oÙ l’ensemble d’vnements lmentaires est fini). 5. Probabilitconditionnelle ;indpendance de deux vnements (on se limitera au cas oÙ l’ensemble d’preuves est fini). Applications À des calculs de probabilit. 6. Variablealatoire À valeurs relles dont l’ensemble des valeurs est fini. Loi de probabilit. Esprance math- matique, variance. Exemples. 7. Schmade Bernoulli et loi binomiale. Exemples. 8. Sriesstatistiques À deux variables numriques. Nuage de points associ. Ajustement affine par la mthode des moindres carrs. Droites de rgression. Applications. L’expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel À l’utilisation d’une calculatrice. 9. Propritsaxiomatiques deN. Construction deZ. 10. Divisioneuclidienne dansZ, unicit du quotient et du reste. Applications. L’expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel À l’utilisation d’une calculatrice. 11. PGCDde deux entiers naturels. Nombres premiers entre eux. Applications. L’expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel À l’utilisation d’une calculatrice. 12. Sous-groupesadditifs deZ. Ègalit de Bzout. Rsolution dansZd’une quation de la formeax+by=c. 13. Nombrespremiers ;existence et unicit de la dcomposition d’un nombre en facteurs premiers. Infinitude de l’ensemble des nombres premiers. Exemple(s) d’algorithme(s) de recherche de nombres premiers. L’expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel À l’utilisation d’une calculatrice. 14. CongruencesdansZ. AnneauxZ/nZ. 15. Constructiondu corpsQdes rationnels. Proprits. 16. Constructiondu corpsCdes complexes. Proprits. 17. Moduleet argument d’un nombre complexe. Interprtation gomtrique, lignes de niveau associes. Applica- tions. 18. Interprtationgomtrique des applications deCdansCdfinies parz7→z+b,z7→azetz7→z, oÙaetb appartiennent ÀC,anon nul. Exemples d’application À l’tude de configurations gomtriques du plan. z−a 19. Ètudede la fonction deCdansCdfinie parf:z7→, oÙa, b, zsont complexes. Lignes de niveau pour z−b le module et l’argument de la fonctionf. Applications. 20. Racinesn-imes d’un nombre complexe. Interprtation gomtrique. Applications. 21. Dfinitionvectorielle d’une droite du plan, d’une droite et d’un plan de l’espace. Reprsentations param- triques. Gnration des demi-droites, des segments. Paralllisme. 22. Èquationcartsienne d’une droite du plan. Problmes d’intersection, paralllisme. Condition pour que trois droites soient concourantes. 23. Droiteset plans dans l’espace. Positions relatives; plans contenant une droite donne. 24. Thormede Thals. Applications À la gomtrie du plan et de l’espace. 25. Dfinitionet proprits du barycentre denpoints pondrs. Application À l’tude de configurations du plan ou de l’espace. 26. Homothties et translations; transformation vectorielle associe. Effet sur l’alignement, les directions, les distances... Applications À l’action sur les configurations usuelles. 27. Composesd’homothties et de translations du plan. Groupe des homothties-translations. Applications.

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28. Projectionorthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associe. Applications (calculs de dis- tances et d’angles, optimisation...). 29. Dfinitionet proprits du produit scalaire dans le plan; expression dans une base orthonormale. Application au calcul de distances et d’angles. 30. Lecercle. Positions relatives d’une droite et d’un cercle, de deux cercles. Point de vue gomtrique et point de vue analytique. Lien entre les deux points de vue. 31. Thormede l’angle inscrit. Cocyclicit. Applications. 32. Relationsmtriques dans un triangle rectangle. Trigonomtrie. Applications. 33. Relationsmtriques et trigonomtriques dans un triangle quelconque. Applications. 34. Droites remarquables du triangle : bissectrices, hauteurs, mdianes, mdiatrices... (dans l’ordre que l’on voudra). 35. Produitvectoriel dans l’espace euclidien orient de dimension trois. Point de vue gomtrique, point de vue analytique. Applications. 36. Applicationsdu produit scalaire et du produit vectoriel dans l’espace orient : calculs de distances, d’aires, de volumes, d’angles... 37. Orthogonalitdans l’espace affine euclidien : droites orthogonales, droite orthogonale À un plan, plans per- pendiculaires. Applications. 38. Rflexiondu plan changeant deux points donns; mdiatrice, rgionnement associ. Applications au triangle et au cercle (cercle circonscrit, angle inscrit...). 39. Rflexions du plan changeant deux droites scantes donnes, bissectrices. Applications au triangle et au cercle (cercle inscrit, tangentes À un cercle...). 40. Recherchedes isomtries du plan conservant un carr, un losange, un paralllogramme, un rectangle (dans l’ordre que l’on voudra). 41. Rotationsplanes. Notion d’angle. (On pourra traiter ces notions dans l’ordre que l’on voudra.) 42. Groupedes isomtries du plan : dcomposition d’une isomtrie en produit de rflexions, groupe des dplace- ments, classification des isomtries À partir de l’ensemble des points invariants. 43. Ètudedes transformations du plan euclidien qui conservent les rapports de distances. 44. Recherche des isomtries du plan conservant un polygone rgulier; exemples (triangle quilatral, carr, hexagone, octogone...). 45. Rflexionde l’espace changeant deux points donns; plan mdiateur, rgionnement associ. Ètude des iso- mtries de l’espace ayant une droite de points invariants. 46. Rflexionset rotations de l’espace. Effet sur les distances, les angles... Applications À l’action sur les confi- gurations usuelles. 47. Courbesdfinies par des quations paramtriques dans le plan. Vecteur driv et tangente; interprtation cinmatique. 48. Dfinitions de la parabole, gomtriquement et par quation rduite; quivalence entre ces dfinitions. Construction de la tangente et de la normale en un point. 49. Dfinitionsde l’ellipse, gomtriquement et par quation rduite; quivalence entre ces dfinitions. 50. Dfinitionsde l’hyperbole, gomtriquement et par quation rduite; quivalence entre ces dfinitions. 51. Exemplesde reprsentation paramtrique des coniques; constructions de la tangente et de la normale en un point À une parabole, une ellipse, une hyperbole. 52. Suites monotones, suites adjacentes. Approximation d’un nombre rel, dveloppement dcimal. L’expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel À l’utilisation d’une calculatrice. 53. Suitesconvergentes. Oprations algbriques, composition par une application continue. Limites et relation d’ordre. 54. Suitesdivergentes. Cas des suites admettant une limite infinie : comparaison, oprations algbriques, com- position par une application.

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n b∗ 55. Ètudedes suites de terme gnrala,netn!(a∈C, b∈R, n∈N). Croissances compares. Exemples de comparaison de suites aux suites prcdentes. L’expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel À l’utilisation d’une calculatrice. 56. Ètude de suites de nombres rels dfinies par une relation de rcurrenceu n+1 =f(u n )et une condition initiale. L’expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel À l’utilisation d’une calculatrice. 57. Exemplesd’tude de la rapidit de convergence d’une suite relle(u n ) n vers une limite`: Cas oÙ|u n −`|est −a n domin parn, parq... L’expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel À l’utilisation d’une calculatrice. 58. Limite finie d’une fonction À valeurs relles en un pointadeR. Oprations algbriques sur les limites. Continuit d’une fonction en un point. Exemples. 59. LimiteÀ l’infini d’une fonction À valeurs relles. Branches infinies de la courbe reprsentative d’une fonction. Exemples. L’expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel À l’utilisation d’une calculatrice. 60. Imaged’un intervalle par une fonction continue, cas d’un segment. Cas d’une fonction continue strictement monotone. 61. Driveen un point, meilleure approximation affine, interprtation gomtrique. Exemples. L’expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel À l’utilisation d’une calculatrice. 62. Fonctionsdrives. Oprations algbriques. Drive d’une fonction compose. Exemples. 63. Fonctionrciproque d’une fonction strictement monotone sur un intervalle deR. Ètude de la continuit, de la drivabilit. Exemples. 64. Comparaisondes fonctions : domination, prpondrance, quivalence. Exemples et applications. 65. Ingalitdes accroissements finis. Exemples d’applications À l’tude de suites et de fonctions. L’expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel À l’utilisation d’une calculatrice. 66. Thormede Rolle. Applications. 67. Formulesde Taylor. Applications. 68. Dveloppementslimits, oprations sur les dveloppements limits. 69. FonctionspolynÔmes. 70. Fonctionslogarithmes. 71. Fonctionsexponentielles. x a 72. Croissancecompare des fonctions rellesx7→e,x7→xetx7→ln(x)au voisinage de+∞. Applications. L’expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel À l’utilisation d’une calculatrice. 73. Caractrisationdes fonctions exponentielles relles par l’quation fonctionnelle :f(x+y) =f(x)×f(y). 74. Fonctionsconvexes d’une variable relle. Applications. 75. Applications de la drivation À l’tude des extrmums ventuels d’une fonction numrique d’une variable relle. Exemples. L’expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel À l’utilisation d’une calculatrice. 76. Primitives d’une fonction continue sur un intervalle; dfinition et proprits de l’intgrale, ingalit de la moyenne. Applications. 77. Intgrationpar parties, par changement de variable. Exemples et applications. 78. Diverses mthodes de calcul approch d’intgrales dfinies. L’expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel À l’utilisation d’une calculatrice. 79. Mthodesd’approximation des zros d’une fonction numrique relle. Exemples. L’expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel À l’utilisation d’une calculatrice. 80. Ètudedes quations diffrentielles linaires du second ordre À coefficients constants. Exemples. 81. Exemples d’approximation d’une solution d’une quation diffrentielle par la mthode d’Euler. L’expos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel À l’utilisation d’une calculatrice.

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