Capesext deuxieme composition de mathematiques 2001 capes maths capes de mathematiques

Description

cA vos cours 2001 1Recrutement de professeurs certifi´eset concours d’acc`es `a des listes d’aptitudeCAFEP/CAPES SESSION 2001Concours EXTERNEDEUXIEME COMPOSITION DE MATHEMATIQUES(Dur´ee : 5 heures)L’usage de la calculatrice de poche est autoris´ee - y compris programmable, alphanum´erique ou`a ´ecran graphique -, a` fonctionnement autonome, non imprimante, autoris´ee conform´ement a` la◦circulaire n 99-186 du 16 novembre 1999.Tout document et tout autre mat´eriel ´electronique sont interdits.La qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements interviendront pour une partimportante dans l’appr´eciation des copies. Les r´esultats indiqu´es dans l’´enonc´e peuvent ˆetre utilis´espar les candidats pour la suite du probl`eme.Les c doivent reporter sur leur copie, devant leurs r´eponses, la num´erotation compl`ete desquestions de l’´enonc´e.Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signaledans sa copie et poursuit sa composition en indiquant les initiatives qu’il est amen´e a` prendre de cefait.Notations et objectifs du probl`emeDans tout le probl`eme on note :N l’ensemble des entiers naturels;∗N l’ensemble des entiers naturels non nuls;Z l’ensemble des entiers relatifs;K un corps qui sera toujours le corps des r´eelsR ou le corps des complexesC ;Pour tout couple d’´el´ements p et q deN tels que p est inf´erieur ou ´egal `a q, on note :[p,q] ={m;m∈N| p≤m et m≤q}et ...

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Extrait

c A vos cours 2001

Recrutementdeprofesseurscertifi´es etconcoursd’acc`es`adeslistesd’aptitude CAFEP/CAPES SESSION 2001

Concours EXTERNE DEUXIEME COMPOSITION DE MATHEMATIQUES

(Dure´e:5heures)

L’usagedelacalculatricedepocheestautoris´ee-ycomprisprogrammable,alphanume´riqueou `a´ecrangraphique-,a`fonctionnementautonome,nonimprimante,autorise´econforme´menta`la ◦ circulairen99-186 du 16 novembre 1999.

Toutdocumentettoutautremat´eriel´electroniquesontinterdits.

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Laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapre´cisiondesraisonnementsinterviendrontpourunepart importantedansl’appr´eciationdescopies.Lesre´sultatsindiqu´esdansl’´enonc´epeuventˆetreutilis´es parlescandidatspourlasuiteduprobl`eme. Lescandidatsdoiventreportersurleurcopie,devantleursre´ponses,lanum´erotationcomple`tedes questionsdel’e´nonc´e. Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd’´enonc´e,illesignale danssacopieetpoursuitsacompositionenindiquantlesinitiativesqu’ilestamene´`aprendredece fait.

Notationsetobjectifsduprobl`eme

Danstoutleprobl`emeonnote: Nl’ensemble des entiers naturels; ∗ Nl’ensemble des entiers naturels non nuls; Zl’ensemble des entiers relatifs; Ksirespuqcnroupsorecslurjoouatslee´rsedRou le corps des complexesC;

Pourtoutcoupled’e´le´mentspetqdeNtels quepueore´irlaa`´ugeesnftiq, on note :

[p, q] ={m;m∈N|p≤m et m≤q}

etpourtoute´l´ementkdeNon notekNl’ensemble des multiples deksoit :

kN={m∈N| ∃n∈N, m=kn}.

On note :S(K´’dsetiussedelbmseenl’)sdementel´eK. Une suiteu= (u n ) n∈N (s,pareofraonsiee´tu n ). On rappelle queS(K) est muni d’une structure d’espace vectoriel surKsdleurpoerp´xoeusntaoi suivantes : ∀u= (u n ),∀v= (v n ),∀λ∈K, u+v= (u n +v n )et λu= (λu n ) Onditqu’un´ele´mentudeS(Kstxieuedqursle’ixtelin´ea´ecurreneredxuolrideo’drretiusenutse) e´le´mentsaetbdeNtels que :∀n∈N, u n+2 =au n+1 +bu n (1) Si une suite (u n ) n∈N btseeneinetnxeud´eige`’paraitdrruna1g,larelation(1)n’tdesn’quiefin´e ∗ ∗ que pourndansN.