CCMP 2004 mathematiques i classe prepa psi

Description

A 2004 Math PC 1 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2004 PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUESFiliere PC(Duree de l’epreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis a la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.Les candidats sont pries de mentionner de fa con apparente sur la premiere page de la copie :MATHEMATIQUES 1-Filiere PC.Cet enonce comporte 5 pages de texte.Si, au cours de l’epreuve, un candidat repere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’enonce, il le signalesur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amene a prendre.Ce probleme met en evidence par une methode originale une propriete et une methode de calcul dela moyenne et de la variance bien connues en Probabilites.Soit S l’ensemble des suites reelles U = (u ) dont tous les termes u sont positifs ou nuls et lan nn∈Nsomme egale a 1 :( )∞XS = U |U = (u ) , ∀n, u 0, u = 1 .n n nn∈Nn=0Soit F l’ensemble des fonctions reelles f qui sont des sommes de serie entiere de rayon de convergenceR superieur ou egal a 1 ; ces series entieres sont convergentes lorsque le ...

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• Publié par: aiolos
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Extrait

A 2004 Math PC 1

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2004

` ´´ PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`rePC (Dure´edel’e´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT,TPE-EIVP.

Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremi`erepagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES1-Filie`rePC.

Cete´nonc´ecomporte5pagesdetexte.

Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd’´enonce´,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilestamene´`aprendre.

Ceproble`memeten´evidenceparuneme´thodeoriginaleunepropri´et´eetunem´ethodedecalculde lamoyenneetdelavariancebienconnuesenProbabilit´es.

SoitS’ensllleeestius´rselbmesedeU= (u n tous les termes) dontu n sont positifs ou nuls et la n∈N somme´egale`a1: ( ) ∞ X S=U|U= (u n ),∀n, u n ≥0, u n = 1. n∈N n=0 SoitFonctdesfmbleensellse´reeoisn’lfqiuessdmeomssdentsoredere`itneeire´yanoedocvnreegcne Regtnvnresruqseol´eelelersup´erieurou´e`lagc;1a´sseeirentseeri`soescontxelte1a`lemmosru´egaest vaut1encepoint;touteslesd´erive´esdesfonctionsfen 0 sont positives ou nulles : ( ) ∞ ∞ X X n(n) F=f|f(x) =a n x ,a n = 1, R≥1,∀n, f(0)≥0. n=0n=0 ` A une suiteU= (u n ppraa,)aneta`tnSi´oclaeencfoontise,ssatfationsuivante:de´nfieiaplrrale n∈N ∞ X n f(x) =u n x . n=0 b Soitjplapl’naioatic´dfieniisin:eU7→−f=j(U) ; la fonctionj(Ueenot´)estU.

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