CCP 2003 mathematiques 2 classe prepa tsi

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE FILIÈRE TSI – SESSION 2003 ______________________ MATHÉMATIQUES 2 Durée : 3 heures Les calculatrices sont autorisØes. NB. : Le candidat attachera la plus grande importance la clartØ, la prØcision et la concision de la rØdaction. Si un candidat est amenØ repØrer ce qui peut lui sem bler Œtre une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a ØtØ amenØ prendre. M (C) (resp. M (R)) est l’anneau des matrices carrées 3 × 3 à coefficients dans C (resp. dans R). On 3 30 1 0  note I la matrice identité, et F = 0 0 1 la matrice dite de Frobenius.  1 0 0 L’objet de ce problème est d’étudier le sous-anneau de M (C) engendré par F, et d’en donner 3quelques applications. Les parties II et III sont, dans une large mesure, indépendantes. Partie I : Dans toute cette partie, on travaille dans M (C). 31. Soit χ (t) = det (F – tI) le polynôme caractéristique de F. Donner χ (t) et en déduire que F est F Fi2π diagonalisable sur C. On posera j = exp .  3 2. On note :  x y z   2 3   3A = {xI + yF + zF , (x, y, z) ∈ C }= z x y ,(x, y, z)∈ C    y z x   a/ Montrer que A est un sous-espace vectoriel de M (C), dont on donnera une base et la dimension. 3b/ Montrer que le produit de deux éléments de A est commutatif et reste dans A. 3. Montrer que tous les éléments de A sont diagonalisables dans une même base. 24. ...

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Extrait

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE FILIÈRE TSI – SESSION 2003 ______________________ MATHÉMATIQUES 2 Durée : 3 heures Les calculatrices sont autorisées. NB. :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a été amené à prendre. 3 (C) (resp. 3 (R)) est l’anneau des matrices carrées 3×3 à coefficients dansC(resp. dansR). On M M  0 1 0    noteIla matrice identité, etF= 0 0 1la matrice dite de Frobenius.   1 0 0   L’objet de ce problème est d’étudier le sousanneau de 3 (C) engendré parF, et d’en donner M quelques applications. Les partiesIIetIIIsont, dans une large mesure, indépendantes. Partie I:Dans toute cette partie, on travaille dans 3 (C). M 1.Soitχ F (t) = det (F–tI) le polynôme caractéristique deF. Donnerχ F (t) et en déduire queFest  i2π  diagonalisable surC. On poseraj= exp   .  3  2.On note :  x y z     2 3   3 ∈ ∈ = {xI+yF+zF, (x,y,z)C}=  z x y, (x,y,z)C  A    y z x     a / Montrer queest un sousespace vectoriel de 3 ( C ), dont on donnera une base et la dimension. A M best commutatif et reste dans/ Montrer que le produit de deux éléments de. A A 3.Montrer que tous les éléments desont diagonalisables dans une même base. A 2 4.Déterminer alors une expression factorisée du déterminant des matricesA =xI + yF + zF en fonction dex,y,z, puis donner une condition d’inversibilité de ces matrices. 1 5. SoitA∈ ,Ainversible. On établit dans cette question queA∈ .Pour cela, on considère A A l’applicationΦ:→A A M!AM a/ Vérifier queΦ.est bien un endomorphisme de A 1 b / Montrer que c’est un isomorphisme puis queA∈ . A 1 c/ Proposer une méthode pour vérifier cette conclusion (A∈ )en utilisant l’outil calcul formel. A Partie II :Soitε 3 un espace affine euclidien réel de dimension 3, despace vectoriel associé E 3 . " On rapporteε 3 (resp. E 3 )à un repère orthonormé direct (O, i , j , k ) , (resp. la base orthonormée