Œ˛øjº„߲Łjœj˛łœŁœ˛ł˛º˛ŒßØØ˛ø-Œ„Concours communs polytechniquesEpreuve spécifique filière PSI- Session 2004Mathématiques I : 4 heuresCalculatrices autorisées.Notations et but du problèmeE fest le R espace vectoriel des fonctions définies sur R , à valeurs réelles, de+01 f ( 0) = 0classe c sur R et vérifiant .+E f Eest l’ensemble des fonctions appartenant à et telles que la fonction1 02? f t ?( ) *ta soit intégrable sur R .? ? +tE f Eest l’ensemble des fonctions appartenant à et telles que la fonction2 02Rta f '( t ) soit intégrable sur .( ) +On note :1/ 22 1/ 2? f t ? 2( ) pour f E ; N f = f ' t dt pour f E ; N f = dt ( ) ( ( ) )( )1 ? ? 1 2 2*? ? RR ++ tLe but du problème est de comparer les ensembles E et E d’une part, les1 2N Nfonctions et d’autre part.1 2Les parties I et II sont consacrées à deux exemples, la partie III aborde leproblème de comparaison de façon plus générale.Partie I – Exemple IfDans cette partie on suppose que est la fonction définie sur R par+f t = Arc tan t( ) .f E1. Montrer que appartient à .11* H : tax2. Montrer que, pour tout x R , la fonction est2 2 2+ t +1 t + x( ) ( )f Eintégrable sur R et qu’en particulier appartient à .+ 2* x = H t dtN f ( ) ( )( ) x R3. Calcul de . Pour , on note x .2 ?+ R+*3.1. Montrer que la fonction est continue sur R .+*3.2. Soit x R , x 1 ; décomposer en éléments simples la fraction+1rationnelle de la variable T , .2T +1 T + x( ) ( )*x3.3. En déduire ...