CCP 2005 mathematiques 2 classe prepa psi

Description

CCPPSI 2005 -Math¶ematiques 2Dur¶ee : 4 heurescalculatrices autoris¶eesNotations et objectifs:² Rde¶signe l'ensembledesnombresre¶els, Cd¶esignel'ensembledesnombrescomplexes. Pour¸ 2 C,onnote j¸j lemodulede¸.² M (C)de¶signe l'espacedes matricesµadeux ligneset deuxcolonnes,aµcoe±cientscomplexes.2² M = (m ) ¶etant une matrice aµ coe±cients complexes, on note M = (m ) la matrice dont lesi;j i;jtcoe±cientssont les conjugu¶esdescoe±cientsdeM. Lamatricetranspose¶edeM estnot¶ee M.µ ¶1 0² PourM 2 M (C),onnotedet(M)led¶eterminantdeMettr(M)latracedeM. OnnoteI = .2 2 0 1Leproblµemeportesur l'¶etudedes sous-ensemblesde matricesde M (C)et conduitµa d¶e¯nir, par des2matricesde M (C),desrotationsd'unespace euclidiendedimension3.22Dans lapremieµrepartie , ond¶e¯nitunproduitscalairesur l'espacecomplexe C .Dans ladeuxiµemeet latroisiµemepartie , on¶etudiedessous-ensemblesdematricesde M (C).2Dans la quatriµeme partie, on d¶e¯nit une structure euclidienne sur un sous-ensemble de matrices deM (C)eton¶etudiedesautomorphismes decetespaceeuclidien.2Danstout leprobleµme, des questionsdecalcul peuvente^tretrait¶ees inde¶pendammentdesautres ques-ions.Partie I2Onnote C le C-espace vectoriel des couples de nombrescomplexes. Les deux vecteurse =(1;0) et12 2e =(0;1)de C formentunebase B=(e ;e ) de C appele¶ebasecanonique.2 1 2 µ ¶ µ ¶a c2Etantdonn¶edeux vecteursx=(a;b), y=(c;d) de C , de matricesX = , Y = relative-b dtmentaµlabasecanonique, ond¶e¯nitleproduitscalaire(xjy)=ac+bd= ...

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Extrait

CCPPSI2005Mathe´matiques2 Dure´e:4heures calculatricesautorise´es

Notations et objectifs:

d´esignel’ensembledesnombresre´els,de´signel’ensembledesnombrescomplexes.Pourλ, on R CC  ∈ noteλle module deλ. | | 2 .iefficscntplomesexlee’isngd)e´(icesmatredesspacedtesengilxueda`oeac,`esnnlocoux C  M M= (m i,j e´)tnattenoonicnestocpmelex,sunematrice`acoeffiM= (m i,j ) la matrice dont les  t coefficientssontlesconjugue´sdescoefficientsdeMs´podeeeeticnsraaL.rtamMeeetson´tM. 1 0 µ ¶ PourM 2 on note( ),det(Mdentnaimrete´del)Mettr(M) la trace deMnote. OnI 2 = . C  ∈M 0 1 Le probl`eme porte sur l’´etude des sousensembles de matrices de 2 ad´enir,pardeste)(`tiudnoc C M atrices de( ),des rotations d’un espace euclidien de dimension 3. C 2 M 2 Danslapremi`erepartie,onde´nitunproduitscalairesurl’espacecomplexeC. Dansladeuxi`emeetlatroisie`mepartie,on´etudiedessousensemblesdematricesde 2 ( ). C M Danslaquatri`emepartie,onde´nitunestructureeuclidiennesurunsousensembledematricesde ( )et on ´etudie des automorphismes de cet espace euclidien. C 2 Danstoutleprobl`eme,desquestionsdecalculpeuventetretrait´eesinde´pendammentdesautresques ions.

Partie I 2 On notele espacevectoriel des couples de nombres complexes.Les deux vecteurse 1 = (1,0) et C C 2 2 2 = (0,= (forment une base1) dee 1 , e 2 d)eapplee´beasecanonique. C C B a c 2 t µ ¶µ ¶ Etantdonne´deuxvecteursx= (a, b),y= (c, d) de, de matricesX= ,Y= relative C b d enta`labasecanonique,alaceriodprtsuindn´oeleit(x y) =ac+bd=X Y;dte´neianormeesl | 2 2 arx= (x x) =a+b. || ||| || || p p 2 estunespacevectorielpr´ehilbertiencomplexepourceproduitscalaireetBest une C 2 ase orthonormale de. C 2 I.1 Soientx= (a, b),y= (c, det) deux vecteurs deλ, µExprimer lesdeux scalaires complexes. C produits scalaires (y x), (λx y), (x µy) en fonction du produit scalaire (x y). | || | 2 I.2 Soientx= (a,1 + 3i),y5= (1 +i,3 2i.) deux vecteurs de C − − 2 I.2.1 Aquelle condition sur le nombre complexea, les vecteursxety?formentils une base de C I.2.2 Aquelle condition cette base estelle orthogonale?Dans ce cas calculer la norme dex. i √ 3 à 2 2 ! 2 2 I.3 SoitT).= ( √ 3i C 2 ∈ M − − I.3.1 D´eterminerles valeurs propres (complexes) et les sousespaces propres deT. I.3.2Ende´duirequ’ilexisteunebaseorthonormaledevecteurspropresdeT, que l’on explicitera.