CCSE 2003 mathematiques 1 classe prepa psi

Description

MATHÉMATIQUES I Filière PSI MATHÉMATIQUES I Filière PSIMATHÉMATIQUES I Filière PSINotations, définitions et rappels Partie I - Polynômes de HilbertSoit ndans IN.Si n ∈ IN , soit CI []X l’espace des polynômes complexes de degré inférieur ounégal à nP. Pour dans CI[]X , soit TP() le polynôme PX()+ 1 . L’application T I.A - Inversion d’une matriceainsi définie est clairement un endomorphisme de CI[]X . De plus, si n ∈ IN , nI.A.1) Écrire la matrice M de T dans la base ()1,,X …,X de CI []X .n n nCI []X est stable par TT et on note l’endomorphisme de CI []X induit par T . n n n –1I.A.2) Vérifier que M est inversible ; expliciter M .n nSoit ()H la suite des polynômes de Hilbert, définie par :i i ∈ INi – 1 I.B - Propriétés de la suite ()Hi i ∈ IN1∗H = 1 et ∀i ∈ IN , H = ---- ()Xk– .0 i ∏ I.B.1) Montrer que ()H est une base de CI []X .i! i n0≤≤ink = 0∗I.B.2) Si j ∈ Z Z et i ∈ IN , donner une expression simple de H()j montranti*Si R ∈ IR , soient :+ que H()j est dans Z Z . On distinguera les trois cas : j < 0 0, ≤≤ji – 1 et ji≥ .iD ={}z ∈ CI ,zR<, D ={}z ∈ CI ,zR≤et C ={}z ∈ CI , z =RR R R I.C - Polynômes de CI[]X tels que P()IN ⊂ Z Z*On convient d’autre part que D = CI . Pour R dans IR ∪∞ , soit E l’espace∞ + R Soit P dans CI []X . On décompose PH sur () en :n i 0≤≤invectoriel des fonctions de D dans CI de la forme :R n+∞ +∞ Pa= H .n n ∑ i izaa z , où la série entière a z∑ n ∑ n i = 0n = 0 n = 0I.C.1) Vérifier l’égalité suivante :a un rayon de convergence ...

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• Publié par: aiolos
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• Langue: Français

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