Corrige FESIC Mathematiques 2008

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Terminale S mai 2008 Concours Fesic Correction Exercice 1  π π  π π 7πa. Faux : arg z = arg 2i + arg cos + isin = + = . ( ) ( )C  12 12 2 12 12 1+ i 3 1− i( )( )z 1+ i 3 3 +1 3 −1Ab. Vrai : = = = + i . z 1+ i 2 2 2B 1 3 π2 + i  i ππ π  32 2 i − i iz e A 3 4 12c. Vrai : = = 2 = 2e = 2e . πz   i2 2B 42 + i  e 2 2 z zOA OC 2A Cd. Vrai : = ⇔ = ⇔ 2 = = 2 . OB z2 2 2BExercice 2 4 3 2On considère deux réels a et b et l’équation [E] : z + az + bz + az +1= 0 dans ℂ . 14 3 2a. Vrai : Si z est solution de [E] alors z + az + bz + az +1= 0 ; remplaçons z par z puis par : 0 0 0 0 0 0 0 z04 3 2 4 3 2 4 3 2z + az + bz + az +1= 0 ⇔ z + az + bz + az +1= 0 ; soit encore z + az + bz + az +1= 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 3 41+ az + bz + az + z = 01 a b a 0 0 0 0+ + + +1= 0 ⇔ = 0 . 4 3 2 4zz z z z00 0 0 01b. Vrai : Si 1+ 2i est solution de [E] alors 1− 2i son conjugué l’est et l’inverse de 1− 2i l’est. 1− 2i1 1 12 2 2 2c. Faux : Le changement de variable Z = z+ donne Z = z + + 2 ⇔ z + = Z − 2 , soit en divisant 2 2z z z1 1 1  1 2 2 22[E] par z , on a [E’] : z + az+ b+ a + = 0 ⇔ z + + a z+ + b = 0 ⇔ Z − 2+ aZ+ b = 0 et non  2 2z zz z  2Z + aZ+ b = 0 . 2 2d. Si on cherche les racines de Z + aZ+ b− 2 = 0 , on a = a − 4 b− 2 ; si < 0 on a deux racines ( )2 2z −Uz+1 z −Uz+1( ) ( )2conjuguées U et U d’où Z + aZ+ b− 2 = ( Z−U ) Z−U = , soit au numérateur ( ) 2 2z z(qui correspond au polynôme de départ) le produit de deux polynômes du ...

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• Publié par: shin
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Terminale Smai 2008 Concours FesicCorrection Exercice 1  π  π π 7 π a. Faux :arg ( z ) =arg ( 2i ) +arg cos+isin== +. C   12 122 1212   +i−i 1 3 ) ( 1 ) z 1i3 3+1 3−1 A b. Vrai := == +i. z1+i2 22 B   1 3 π 2+i i   π π 3 2 2 i− i i z e A   3 4 12 c. Vrai := =2=2=2e. π z   i B 2 2 4 2+i e   2 2   z z OA OC A C 2 d. Vrai := ⇔= ⇔2= =2. OB z 2 B 2 2 Exercice 2 4 3 2 On considère deux réelsaetbet l’équation [E] :z az+bz+az+1=0 dansℂ. 1 4 3 2 a. Vrai : Siz estsolution de [E] alorsz az+bz+az+1=0; remplaçonsz parz puispar : 00 0 0 00 0 z 0 4 3 24 3 24 3 2 z az+bz+az+1=0⇔z+az+bz+az+1=0; soit encorez az+bz+az+1=0. 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 2 34 1a b a 1+az+bz+az+z=0 0 00 0 + + +1=0⇔ =0. 4 3 24 z z z z z 0 0 0 00 1 b. Vrai : Si1 2iest solution de [E] alors1 2ison conjugué l’est etl’inverse de1 2il’est. 1 2i 1 11 2 22 2 c. Faux : Lechangement de variableZ z+ donneZ z+ +2⇔z+ =Z−2, soit en divisant 2 2 z z z 1 11 1 2 2 2   2 [E] parz, on a [E’]:z az+b+a+ =0⇔z+ +a z+ +b=0⇔Z−2+aZ+b=0 etnon   2 2 z z z  z  2 Z aZ+b=0 . 2 2 d. Sion cherche les racines deZ aZ+b−2=0, on a=a−4b−2 ) ; si<0 ona deux racines 2 2 z Uz+1z−Uz+1 ) ) 2 Z+aZ+b−2=Z−U Z−U=, so conjuguéesUetUd’où ( ) ( ) it au numérateur 2 2 z z (qui correspond au polynôme de départ) le produit de deux polynômes du second degré à coefficients non tous réels. Exercice 3 [E ] :z z−2et [E 2 ] :argz ) argz+3+i ) . 1 a. Vrai :z=z−2⇔OM=AM; c’est la médiatrice de [OA].    b. Faux :arg ( z ) arg ( z+3+i ) ⇔u;OM=u;BM⇔BM;OM=0; tout ceci est modulo2, donc c’est le complémentaire du segment [OB]. c. Vrai :Cest sur la médiatrice de [OA] donc [E ] est vérifiée ;Cest sur la droite (OB) et pas sur le segment 1 [OB] donc [E ] est vérifiée (faire une figure). 2

Terminale S Concours Fesic

1 Correction

F. Laroche mai 2008