E3A 1999 mathematiques b classe prepa psi

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1 EN2 concours CONCOURS ENSAM - ESTP - ENSAIS- ECRlN - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques 2 durée 4 heures bxercice 11 1" Soient a et b deux réels, a < b , et soitfune application de [a&] dans R de classe C2 Montrer que : sin Jx 2" Soit g l'application de [l,m[ dans R définie par x H g(x) = ~. & Montrer que g" est intégrable sur [l,m[. 3" Pour n entier naturel non nul on pose : 1 sin & Wn = Vn - -(un +un+,). un =- 2 fi Montrer que w, est le terme général d'une série absolument convergente. a) b) Montrer que n XVk = 2cosl- 2cosm k=l Prouver que la suite (cosn) n'est pas convergente. En déduire la nature de la série de terme général vn Déterminer la nature de la série de terme général un. c) On note In la fonction logarithme népérien. Soit n un entier naturel non nul. 1 O Soient I et J deux intervalles de R, non vides, non réduits à un point. On considère une suite (.fn) d'applications de Z dans J, une applicationfde Z dans J et une application g de J dans W. On suppose que g est uniformément continue sur Jet que la suite (f, ) converge uniformément sur Z versf Montrer que la suite (g 0 f, ) converge uniformément sur Z vers g 0 f . 2" Soit 9 une application continue de [0,1] dans R. Déterminer le réel L tel que : L = lim a) n++m n k=l Soit A un réel strictement positif. b) Justifier l'existence d'un entier naturel non nul N tel que, pour tout n, n 2 N , i) pour tout k élément de (O, 1,2,. . . ,n} et tout x de [-A, A] on ait : Établir ...

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• Publié par: aiolos
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