Ecricome 2000 mathematiques classe prepa b/l

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ECRICOMEBanque d Øpreuves communesaux concours des Ecolesesc bordeaux / esc marseille / icn nancy / esc reims / esc rouen / esc toulouseCONCOURS D’ADMISSIONoption lettre et sciences humainesMATHÉMATIQUESAnnØe 2000Aucun instrument de calcul n est autorisØ. document n est autorisØ.L ØnoncØ comporte 6 pagesLes candidats sont invitØs à soigner la prØsentation de leur copie, à mettre en Øvidence les principauxrØsultats, à respecter les notations de l’ØnoncØ, et à donner des dØmonstrations complŁtes (mais brŁves)de leurs a¢ rmations.Tournez la pageS.V.P1/6EXERCICE 1E est l ensemble des polyn mes à coe¢ cients rØels, de degrØ infØrieur ou Øgal à 4 (que l’on peut encore noterkR [X]); on dØsigne par B la base canonique de E formØe des ØlØments e : ainsi e (X) =X pour k = 0;1;2;3 et4 k k4:On dØsigne, d autre part, par I el nsemble des polynômes impairs, et par P l ensemble des polynômes pairs deE:1. Montrer que E est somme directe de I et de P; c est- -dire E =IP:kPj2. On considŁre l ensemble des polyn mes p dØ…nis, pour k = 0;1;::;4; par p (X) = Xk kj=00(a) Montrer que les p constituent une base de E que l’on notera B :k4P 0(b) Soit P le polyn me a e oø les a sont des rØels; exprimer les composantes de P dans la base B :k k kk=02 03. On considŁre l application f :p7!f(p) dØ…nie par f(p)(X) = (X +1)p"(X) Xp (X):(a) Montrer que f est un endomorphisme de E; laissant stables I et P:(b) Donner la matrice M de f dans la base B:f(c) DØterminer le noyau ...

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ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse

CONCOURS DADMISSION

option lettre et sciences humaines

MATHÉMATIQUES

Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.

Lénoncé comporte 6 pages

Année 2000

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.

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