Ecricome 2003 mathematiques classe prepa hec (s)

Description

Ecricome 2003, option S.EXERCICE 1On consid`ere la suite de nombres r´eels (u ) d´efinie par la relation de r´ecurrence :n n∈N2u =u +un+1 n n∗u =a, a∈R0 +Partie 1 Convergence de (u )n n∈N1) Montrer que cette suite est strictement positive et monotone.2) Montrer que cette suite diverge vers l’infini.Partie 2 Comportement asymptotique de (u )n n∈N1On d´efinit la suite (v ) par : v = lnun n∈N n nn21 11) Prouver que pour tout entier n deN : v −v = ln(1+ ).n+1 n n+12 unEn d´eduire que quels que soient les entiers naturels p et n :1 10

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• Publié par: aiolos
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Extrait

Ecricome 2003, option S. EXERCICE 1 Onconsid`erelasuitedenombresre´els(u n ) n∈N niepd´efieralraaled´ritnoncreurece:  2 u n +u u n+1 = n ∗ u 0 =a, a∈R + Partie 1Convergence de(u n ) n∈N 1)Montrer que cette suite est strictement positive et monotone. 2)Montrer que cette suite diverge vers l’infini. Partie 2Comportement asymptotique de(u n ) n∈N 1 Ond´efinitlasuite(v n ) n∈N par :v n = lnu n n 2 1 1 1)Prouver que pour tout entierndeN:v n+1 −v n + ).= ln(1 n+1 2u n Ende´duirequequelsquesoientlesentiersnaturelspetn: 1 1 0< v n+p+1 −v n+p 6)ln(1 + n+p+1 2u n 2)ueeqqureuiedd´Ensurelsnattierseneneltseiosluqketn 1 1 0< v n+k+1 −v n 6)ln(1 + n 2u n 3)uerqrente(itsulae´omDv n ) n∈N noteeet´see´rojamte,puisqu’elleconevgrvereusenilimα. n 4)Montrer que :∀n∈N, u n 6exp(α2 ) Enpassant`alalimitepournerdacne’lsnade´xrqrentmo2,2.ntmeeu:fi n ∀n∈N,exp(α2 )6u n + 1 End´eduire,lorsquendnetsrev´el’ivquinl’i,finuitsenal:ntva n u n ∼exp(α2 ) n→+∞ n 5)On pose :β n = exp(α2 )−u n . Montrer que la suite (β n ) n∈N usvinaet:´erifielarelation´nroteeee’uqvelltbes 2n β+β 2β n −1 = ( n+1 n −β n ) exp(−α2 ) 1 n 6)Prouver enfin que lorsquentend vers l’infini :u n =−+ exp(α + o(1) 2 ) 2 EXERCICE 2 Dans cet exercice,ni,eertnoantaudroeglnneuonnennutlatidtneo´sisstpleseon:vauiesnt M n (Rordresd’rr´eescae:e)amsecirtmesndelbns.el´etnrscffieicaeo`, S n (R) : le sous-espace vectoriel deM n (R.d)seamrticessym´etriques A n (R) : le sous-espace vectoriel deM n (Redms)ecastairym´entisues.triq t t On rappelle qu’une matriceAdeM n (Riseetm´quri)aenstsytiA=−A,A´natecetlamatri transpose´edeA. Onde´finitlesapplicationstretϕpar : n X t Pour toute matriceA= (a i,j ) etBdeM n (R),tr(A) =a i,i , ϕ(A, B) = tr(AB) 16i6n 16j6n i=1 1)´nilnoitederiaeetrestuneapplicaMnortreuqM n (R) dansRfii:eerv´uiq ∀A∈ M n (R),∀ ∈ M n (R),tr(AB) = tr(BA) 2)Prouver que tr est surjective. Donner la dimension du noyau de tr.