Ecricome 2004 mathematiques classe prepa hec (stg)

Description

Ecricome 2004, Option TechnologiqueEXERCICE 1L’exercice se propose d’´etudier la suite (u ) d´efinie par :n n∈Nu = 00∀n∈N, u =f(u )n+1 n−x xLa fonction f ´etant d´efinie surR par : pour tout x r´eel, f(x) = e ln(1+e ).Partie 1 : Etude d’une fonction g interm´ediaire.+On consid`ere la fonction d´efinie surR par :t∀t> 0, g(t) = −ln(1+t)t+10 +1) D´eterminer la fonction d´eriv´ee g de g et en donner son signe surR .2) En d´eduire les variations de la fonction g et montrer que : ∀t> 0, g(t)6 0.Partie 2 : Etude de la fonction f.0 −x x1) D´emontrer que l’on a , pour tout x r´eel : f (x) = e g(e )2) Etudier alors les variations de la fonction f.ln(1+e)3) Sachantqueln2’ 0.69etque ’ 0.48,montrerquel’ona,pourtoutxdel’intervallee[0,1] :06f(x)6 1Partie 3 : Convergence de la suite (u )n n∈N1) Justifier que pour tout x de [0,1] :0|f (x)|6|g(e)|2) On consid`ere la fonction h d´efinie sur [0,1] par : h(x) =f(x)−x.a) Montrer que h est une fonction strictement d´ecroissante sur [0,1].b)Prouver que l’´equation h(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0,1].c) En d´eduire que l’´equation f(x) =x admet une unique solution α sur [0,1].3) D´emontrer par r´ecurrence que pour tout n entier naturel :06u 6 1n4) Montrer que, pour tout n entier naturel :|u −α|6|g(e)|.|u −α|n+1 nAinsi que :n|u −α|6|g(e)|n5) Sachant que |g(e)|< 0.6, d´eterminer alors la limite de la suite (u ) lorsque n tend versn n∈N+∞.EXERCICE 2On consid`ere les suites r´eellesu etv ...

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• Publié par: aiolos
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