EDHEC 2004 mathematiques classe prepa hec (ecs)

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EDHEC 2004, option scientifiqueEXERCICE 1Dans tout l’exercice, X est une variable al´eatoire suivant la loi de Poisson de param`etre λ> 0.1) Une premi`ere in´egalit´e.1a) Montrer que P(|X−λ|>λ)6 .λ1b)En d´eduire l’in´egalit´e (∗) : P(X> 2λ)6 .λ2) Premi`ere am´elioration de l’in´egalit´e (∗).a) Soit Y une variable al´eatoire discr`ete, a` valeurs positives et ayant une esp´erance.On note Y(Ω) ={y ,y ,...,y ,...}.0 1 nE(Y)Montrer, en minorant E(Y), que : ∀a> 0, P(Y >a)6 .a2b)On consid`ere une variable al´eatoire discr`ete Z, d’esp´erance nulle et de variance σ . Montrerque, pour tout couple (a,x) de ]0,+∞[×R :+ 2 2P(Z>a)6P (Z +x) > (a+x)2c) En appliquant l’in´egalit´e obtenue en 2.a a` la variable al´eatoire (Z +x) , montrer que :2 2σ +x∀a> 0, ∀x> 0, P(Z>a)62(a+x)2σd) En d´eduire que : ∀a > 0, P(Z > a)6 (on pourra ´etudier la fonction f qui, a`2 2σ +a2 2σ +xtout x deR , associe ).+ 2(a+x)1e) Utiliser cette derni`ere in´egalit´e pour montrer que : P(X> 2λ)6 .λ+13) Deuxi`eme am´elioration de l’in´egalit´e (∗).+∞XkPour tout r´eel t, on pose G (t) = P(X =k)t .Xk=0λ(t−1)a) Justifier l’existence de G (t) et montrer que : G (t) = e .X XG (t)Xb)Montrer que : ∀t∈ [1,+∞[, ∀a> 0, P(X>a)6att−1ec) D´eterminer le minimum sur [1,+∞[ de la fonction g :t7→ .2t λed)En d´eduire que : P(X> 2λ)6 .44) Montrer que cette derni`ere am´elioration est meilleure que celle obtenue a` la question2.e d`esque λ prend des valeur assez grandes.EXERCICE ...

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EDHEC 2004, option scientifique

EXERCICE 1 Dans tout l’exercice,Xbleaariatoirl´eaavtnseiudiPealoldeonssoietm`rapaertsevenuλ >0. 1)agil´t.ee`ernie´imerpenU 1 a)Montrer queP(|X−λ|>λ)6. λ 1 b)´dnE´t(e´einligauiedl’re∗) :P(X>2λ)6. λ 2)eam´i`erPremni’lednoitaroilee(t´liga´e∗). a)SoitYae´lriotsidee`rcevuniaareablitevesataytnnueete,`avaleursposincra´espe. On noteY(Ω) ={y 0 , y 1 , . . . , y n , . . .}. E(Y) Montrer, en minorantE(Y), que :∀a >0, P(Y>a)6. a 2 b)onncd`siOediscr`et´eatoireirbaellareueenavZceanrivadeetleulnecnare´pse’d,σ. Montrer que, pour tout couple (a, x) de ]0,+∞[×R + :   2 2 P(Z>a)6P(Z+x)>(a+x)

2 c)Enuaiqplape´ni’ltnoe´tilagbtenueen2.ae(`alavraailbae´laeotriZ+x) ,montrer que : 2 2 σ+x ∀a >0,∀x>0, P(Z>a)6 2 (a+x) 2 σ d)ue:ireq´eduEnd∀a >0, P(Z>a)6tcoineilrfanoudeta´rrounp(ofuqi,`a 2 2 σ+a 2 2 σ+x toutxdeR + , associe). 2 (a+x) 1 e)erisqtutec:eilUtuope´tilrertnomr`enieredga´einreP(X>2λ)6. λ+ 1 3)ueixDmae´e`emlagee´ti(orliioatelndn´’i∗). +∞ X k Pourtoutr´eelt, on poseG X (t) =P(X=k)t. k=0 λ(t−1) a)Justifier l’existence deG X (t) et montrer que :G X (t) = e. G X (t) b)Montrer que :∀t∈[1,+∞[,∀a >0, P(X>a)6 a t t−1 e c)nimumsuri[1nerlemiDe´etmr,+∞[ de la fonctiong:t7→. 2 t   λ e d)quree:d´EnuiedP(X>2λ)6. 4 4)edercettrquentrerotae´ilermaine`equrleilmestneioa`eunetboelleceualuqseitnooM2.esde` queλprend des valeur assez grandes.

EXERCICE 2 Z +∞ dt 1)On pose, lorsque c’est possible,f(x. Montrer que le domaine de) = x+1 1 +t+t 1 de´finitiondelafonctionfest ]0,+∞[. 2)Montrer quefssnaetusdte´rcioes0r],+∞[. Z +∞ dt 3)a)decnetsixe’lrefiistJuit´euantelaqg(x)ru0]inse´dfie,+∞[ parg(x.) = x t(1 +t) 1