EML 2000 mathematiques classe prepa hec (ecs)

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Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 2000MATHEMATIQUES1`ere ´epreuve (option scientifique)Les candidats ne doivent pas faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Probl`eme 1Notations:– n d´esigne un entier sup´erieur ou ´egal a` 3.– M (R) est l’ensemble des matrices carr´ees d’ordren `a coefficients r´eels.I d´esigne la matrice identit´en ntde M (R). La transpos´ee d’une matrice M est not´ee M.nn– R est muni du produit scalaire canonique not´e < , > d´efini par: si x = (x ,x ,...,x ) et y =1 2 nnP(y ,y ,...,y ) alors, = x y .1 2 n k kk=1    x y1 1   . .. .En notant les matrices unicolonnes X = et Y = et en confondant les matrices   . .x yn ntd’ordre 1 et les scalaires, on a alors= XY. La norme associ´ee `a ce produit scalaire est not´eek.k.n– B = (e ,e ,...,e ) d´esigne la base canonique deR .1 2 nnOn rappelle que la matrice de passage P d’une base orthonormale deR a` une autre base orthonormalen t −1deR v´erifie P =P .Les parties I et II sont ind´ependantes.Partie I.1. On consid`ere les matrices suivantes de M (R):3√ √   5 2 2 3 1 2√ √1   √S = 2 5 2 , P = − 3 1 2√62 2 5 0 −2 2(a) Justifier que S est diagonalisable dans M (R).3t(b) Montrer qu’il existe une matrice diagonale D de M (R) telle que S =PD P.3 2 1 0 2. On consid`ere la matrice M = 0 2 1 de M (R).31 0 23(a) V´erifier ...

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Programme ESC d’E.M.LYON CONCOURS D’ENTREE 2000

MATHEMATIQUES 1e`ree´preuve(optionscientifique)

Lescandidatsnedoiventpasfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautoris´ee.

Proble`me1 Notations: –n´d.a3´preeiruuoe´ag`lesigneunentiersu –M n (Redelbmesecirtamsenl’st)er´eescarrdresd’oneocffi`carse´eitn.sleI n ntde´eittrmaeiicgisealen´d t deM n (Ree´tontseMenematricos´eed’uaLrtnaps.)M. n –Ruiodprdunimustet´euenonoqicenaalristac< , >seifinipard:´x= (x 1 ,x 2 ,...,x n ) et y = n P (y 1 ,y 2 ,...,y n ) alors,< x,y >=x k y k . k=1    x 1 y 1    notant les matrices unicolonnesX= eten confondant les matrices En  .  etY=  .  x n y n t d’ordre 1 et les scalaires, on a alors< x,y >=XY.eetsee´tonLaco´ieea`onmraesstscalairceprodui k.k. n –B= (e 1 ,e 2 ,...,e n edeuqinoelgn)sdi´eanecasabR. n On rappelle que la matrice de passagePd’une base orthonormale deRnua`tuaeaberseorthonormale n t−1 deR´vrefiieP=P. LespartiesIetIIsontind´ependantes.

Partie I. 1.Onconsid`erelesmatricessuivantesdeM 3 (R) :   √ √  5 2 2 3 12 1 √ √    S 5 2= 2 , P= √ − 3 12 √ 6 2 2 5 0−2 2 (a) JustifierqueSest diagonalisable dansM 3 (R). t (b) Montrerqu’il existe une matrice diagonaleDdeM 3 (R) telle queS=P DP.   2 1 0   2.Onconside`relamatriceM= 021 deM 3 (R). 1 0 2 3 (a)V´erifierque(M−2I 3 ) =I 3 . (b)Mest-elle diagonalisable dansM 3 (R)? t (c) Calculerle produitM M. 1