Ensmp mathematiques 2005 mathematiques 2005

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CONCOURSCOMMUN2005DESÉCOLESDESMINESD’ALBI,ALÈS,DOUAI,NANTESÉpreuvedeMathématiques(toutesfilières)Jeudi19mai2005de14h00à18h00Instructionsgénérales:Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4.Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles oumal présentées seront pénalisées.Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres correspon-dante.L’emploid’unecalculatriceestinterditPROBLÈMED’ALGÈBREETDEGÉOMÉTRIELes quatre partiesA,B,C,D de ce problème sont totalement indépendantes entre elles.Dans tout ce problème, on se place dans l’espace usuel muni d’un repère orthonormé direct −→ −→ −→R = O, i , j , k . On note E l’ensemble des points de l’espace et E l’ensemble des vecteurs del’espace. Les différentes coordonnées et équations qui apparaissent dans l’énoncé sont relatives aurepère R.−→ −→ −→−→ −→Si X = x i +y j +z k , on pourra aussi noter X = (x,y,z).−→ −→ −→Si α,β et δ sont trois réels fixés et si u , v et w sont trois vecteurs fixés de E, on note f−→l’application linéaire de E dans E définie pour tout vecteur X de E par −→ −→ −→ −→−→ −→ −→f X = α X · u v +βX +δX ∧ wA-Etudedel’intersectiondedeuxplansmobilesetd’unplanfixe y = z−→ −→ −→ −→On note D la droite passant par O dirigée par a = i + j + k , D la droite d’équations ,x = 1Q le plan d’équation y+z = 0 et enfin, pour tout réel m, P est le plan ...

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• Publié par: aiolos
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Extrait

CONCOURS COMMUN 2005 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques (toutes filières)

Jeudi 19 mai 2005 de 14h00 à 18h00

Instructions générales:

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction :les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres correspon- dante.

L’emploi d’une calculatrice est interdit

PROBLÈME D’ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE

Les quatre partiesA, B, C, Dde ce problème sont totalement indépendantes entre elles. Dans tout ce problème, on se place dans l’espace usuel muni d’un repère orthonormé direct   −→−→ −→ R=., k, jO, iOn noteEl’ensemble des points de l’espace etEl’ensemble des vecteurs de l’espace. Lesdifférentes coordonnées et équations qui apparaissent dans l’énoncé sont relatives au repèreR. −→ −→ −→ −→ −→ SiX=x i+y j+z k ,on pourra aussi noterX= (x, y, z). −→ −→−→ Siα, βetδsont trois réels fixés et sivu ,etwsont trois vecteurs fixés deE, on notef −→ l’application linéaire deEdansEdéfinie pour tout vecteurXdeEpar    −→−→−→−→ −→ −→−→ f X=α X∙u v+β X+δ X∧w

A - Etude de l’intersection de deux plans mobiles et d’un plan fixe  −→−→ −→ y=z  −→ On noteDla droite passant parOdirigée para=i+j+k , Dla droite d’équations, x= 1 Qle plan d’équationy+z= 0et enfin, pour tout réelm, P m est le plan d’équationx+my−mz= 1. −→ A - 1)Donner un vecteur normaln m deP m ainsi qu’un point et un vecteur directeur deD. Vérifier que tous les plansP m contiennent la droiteD. −→ −→−→  A - 2)Calculerr m =n m ∧a .En déduire queDn’est pas orthogonale àP m .On appelle alorsR m  l’unique plan contenantDet perpendiculaire àP m .Obtenir une équation cartésienne deR m . A - 3)Déterminer, pour tout réelm,les coordonnées dansRdeI m point d’intersection des plans P m , QetR m .   2 2 2 1 A - 4)On note(S)d’équationx+y+z=xetle point deQde coordonnées,0,0. 2 Préciser la nature géométrique de(S)ainsi que les éléments géométriques qui le caractérisent. CONCOURS COMMUN SUP 2005 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Page 1/4 Épreuve de Mathématiques (toutes filières)