Escp eap 2002 mathematiques i classe prepa hec (ecs) mathematiques i 2002 classe prepa hec (ecs)

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6ESCP-EAP 2002, math 1, option scientifique.Dans tout le probl`eme, n d´esigne un entier sup´erieur ou ´egal `a 2.∞On consid`ere une fonction r´eelle f de classe C sur [−1,1], et on note I(f) l’int´egrale :Z 1f(x)dx.−1Pour tout entier naturel k non nul , on pose : (k) (k)M (f) = sup f (x), ou` f d´esigne la d´eriv´ee d’ordre k de f.kx∈[−1,1]Lespolynˆomesconsid´er´essonta`coefficientsr´eels,etonconfondpolynˆomeetfonctionpolynomialeassoci´ee.Pour tout entier naturelm, on noteR [X] leR-espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieurmou ´egal a` m.On rappelle que si r ,r ,...,r sont des racines r´eelles distinctes d’un polynˆome P, avec des1 2 ppYkimultiplicit´es respectives k ,k ,...,k , alors il existe un polynomˆ e Q tel que P =Q (X−r ) .1 2 p ii=1Enfin,a ,a ,...,a d´esignentn r´eels deux `a deuxdistincts de [−1,1], et onnoteA le polynˆome :1 2 n nnYA = (X−a )n ii=1L’objet de ce probl`eme est l’approximation de I(f) par des int´egrales de fonctions polynomiales.Pr´eliminaire´1) Enoncer le th´eor`eme de Rolle.n2) Soit g une fonction de classe C sur [−1,1], s’annulant en n+1 points distincts de [−1,1].a) Montrer que la d´eriv´ee de g s’annule en au moins n points distincts de ]−1,1[.(n)b)Montrer qu’il existe un r´eel c de ]−1,1[ tel que g (c) = 0.Partie IDans cette partie, on va proposer comme valeur approch´ee de I(f) la valeur de l’int´egrale obtenueen rempla¸cant la fonction f par la fonction polynomiale de degr´e inf´erieur ou ...

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ESCP-EAP 2002, math 1, option scientifique. Danstoutleproble`me,nnentgneuup´eiersor´uiruea`.2geladise´ ∞ Onconsid`ereunefonctionre´ellefde classeCsur [−1,1], et on noteI(f:ela)ltni’rge´ Z 1 f(x) dx. −1 Pour tout entier naturelknon nul , on pose : (k) ( k) M k (f) =sup  f(x)  uo`,fee´vro’derd´edgnsiadelri´ekdef. x∈[−1,1] Lespolynˆomesconsid´ere´ssont`acoefficientsr´eels,etonconfondpolynˆomeetfonctionpolynomiale associ´ee. Pour tout entier naturelm, on noteR m [X] leRreuri´efnie´rgededsemoˆdespolynectoriele-pscave oue´gal`am. On rappelle que sir 1 , r 2 , . . . , r p ˆoynolnpmerascointdes´eelnesrsiiteldsdsu’cnetP, avec des p Y k i multiplicite´srespectivesk 1 , k 2 , . . . , k p isexuntelypoomnˆea,olsrliQtel queP=Q(X−r i ) . i=1 Enfin,a 1 , a 2 , . . . , a n esigd´tnenn`xuedslee´rdetsnctiisxdeuad[−1,1], et on noteA n ˆome:lepolyn n Y A n = (X−a i ) i=1 L’objetdeceprobl`emeestl’approximationdeI(flonynopsel.smoaiales´egrnctidefop)tnisedra Pr´eliminaire ´ 1)nonElrec´hte`roeemedeRolle. n 2)Soitgune fonction de classeCsur [−1,1], s’annulant enn+ 1points distincts de [−1,1]. a)ntreMoeviredee´euqr´dalgs’annule en au moinsnpoints distincts de ]−1,1[. (n) b)ilexistMeontrerqu’nu´reelcde ]−1,1[ tel queg(c) = 0. Partie I Danscettepartie,onvaproposercommevaleurapproche´edeI(f)alraelboetunege´tni’ledruelav enrempla¸cantlafonctionffne´´rieor´uirue`aegalpalracnofnoitlypominoedalegedn−1, introduite ci-dessous, qui co¨ıncide avecfsur chacun des pointsa i . Y Pour tout entieride{1,2, . . . , n}, on noteL i elopyle:omnˆL i = (X−a k ). k∈{1,...,n} k6=i Par exemple, sin= 3,a 1 =−1,a 2 = 0, eta 3 = 1, alors :L 1 =X(X−1),L 2 = (X−1)(X+ 1), L 3 =X(X+ 1). 1)a)eitnesuosr´erifierque,pourtVietjde{1,2, . . . , n}eelr´le,L i (a j ) est nul lorsqueiest diff´erentdej, et est non nul lorsquei´tgese`aalj. b)Montrer qu’il existe ununiqueome,quelpolynˆo’nntoeP f urie´eouin´eerf´,ededrg`laga n−1, tel que, pour tout entierjde{1,2, . . . , n}ilage´’l,onae´tP f (a j ) =f(a j ), et que ce polynoˆmeestdonn´eparlaformule: n X f(a i ) P=L i L i (a i ) i=1 Z 1 1 2)Pour tout entieride{1,2, . . . , n}, on pose :δ i =L i (x) dx. L(a) i i −1 Z n 1 X Montrer que :P f (x) dx=δ i f(a i ). −1 i=1 Z n 1 X Dans toute la suite, on note :J n (f) =P f (x) dx=δ i f(a i ). −1 i=1