Escp eap 2005 mathematiques i classe prepa hec (ecs) mathematiques i 2005 classe prepa hec (ecs)

Description

ESCP 2005, math I, option scientifiqueCe probl`eme se compose de trois parties largement ind´ependantes, mˆeme si certains objetsintroduits dans la partie II se retrouvent dans la partie III. La partie I ´etudie un exemple decouple al´eatoire suivant une loi trinomiale. La partie II ´etudie les lois marginales d’un tel couple.La partie III propose une caract´erisation de la loi de Poisson.Partie IOn consid`ere, dans cette partie des entiers naturels non nuls n, u, d, t et b, v´erifiant u+d+t =b.Une urne U contient b boules, parmi lesquelles u boules portent le num´ero 1, d le num´ero 2 et tle num´ero 3.Une exp´erience consiste en n tirages successifs d’une boule de l’urne U avec remise.`A chaque tirage, toutes les boules de l’urne U ont mˆeme probabilit´e d’ˆetre tir´ees.Le mod`ele choisi pour cette exp´erience est l’espace probabilis´e (Ω,T,P) dans lequel l’univers Ωnestl’ensemble{1,2,3} desn-upletsd’´el´ementsdel’ensemble{1,2,3},etlatribuT estl’ensembleP(Ω) des parties de Ω, la probabilit´e P se d´eduisant naturellement des hypoth`eses qui ont ´et´e ouseront formul´ees.Aucun tirage n’influe sur les autres en cela que, si une suite quelconque (V ) de variablesk 16k6nal´eatoires d´efinies sur l’espace probabilis´e (Ω,T,P) est telle que, pour toutk∈ [[1,n]], la valeur deV ned´ependquedur´esultatduk-i`emetirage,alorslesvariablesV ,V ,...,V sontmutuellementk 1 2 nind´ependantes.On note U (respectivement D, T) la variable al´eatoire d´efinie sur l’espace ...

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ESCP 2005, math I, option scientifique

Ceprobl`emesecomposedetroispartieslargementind´ependantes,meˆmesi introduitsdanslapartieIIseretrouventdanslapartieIII.LapartieIe´tudie coupleale´atoiresuivantuneloitrinomiale.LapartieIIe´tudielesloismarginales LapartieIIIproposeunecaracte´risationdelaloidePoisson.

certains objets un exemple de d’un tel couple.

Partie I Onconside`re,danscettepartiedesentiersnaturelsnonnulsn,u,d,tetbanifit,erv´u+d+t=b. Une urneUcontientbboules, parmi lesquellesum´nulentteorspleuob,re1odre2oun´melett lenum´ero3. Uneexp´erienceconsisteenntirages successifs d’une boule de l’urneUavec remise. ` A chaque tirage, toutes les boules de l’urneUee.sit´rteerdnetˆ’omeˆmorpeibab´til Lemod`elechoisipourcetteexpe´rienceestl’espaceprobabilise´(Ω,T, P) dans lequel l’univers Ω n est l’ensemble{1,2,3}desnsne’ledselbme’´sd-eutplntme´eel{1,2,3}, et la tribuTest l’ensemble P()Ωborplibae´tispdetiardeeslaΩ,Puoe´te´tnoiuqseseelemtnedhspyto`h´eduisantnatureldes serontformule´es. Aucun tirage n’influe sur les autres en cela que, si une suite quelconque (V k ) 16k6n de variables al´eatoiresd´efiniessurl’espaceprobabilise´(Ω,T, P) est telle que, pour toutk∈[1, n]], la valeur de V k nedduatlte´usderudnuqe´epkbaelsiretemi`-iravselsrola,egaV 1 , V 2 , . . . , V n sont mutuellement inde´pendantes. On noteU(respectivementD,Tavir)alal´eablered´atoiruseinfieecapse’lilabobpr(Ω´eis,T, P) dontlavaleurestlenombredeboulesnum´erot´ees1(respectivement2,3)tire´esaucoursde l’expe´rience. 1)ioere´taellairbalavarquentreMoU(`ler´apisec),eriusenutuiolleusnceodnnreosenpse´ar etsavariance.Donner,demeˆme,lesloisdesvariablesale´atoiresDetT, respectivement. 2)lesariabesvaLseotri´laeUetDenepd´inesll-entos?setnadonse.otrer´epvzefiitsuJ 3)idloavelcuallal,ae´lriotairaaelbeDres,nacse´etmrniU+Ds,norenase´psavaceetce.rian nud 4)ude´dnEaleuqerianrivacoupcoduceel(U, D`ae)tse´agel−. 2 b 5)Simulation informatique. En Pascal, siiest un entier naturel non nul, l’instructionrandom(i)rimeaeotae´luonrretten unentierchoisie´quiprobablementparmilesentiers0,1, . . . , i−1O.cneuredre`disno´corpale Pascalnomme´esimulationeecolar´uit:mmes´dce procedure simulation(var x,y,z : integer; n : integer); var k, r : integer; begin x:=0 ;y:=x ;z:=x ; for k:=1 to n do begin r := random(6); if r=0 then x:=x+1 else if r<=2 then y:=y+1 else z:=z+1 end end ; Quere´alisel’instructionsimulation (a,b,c,12), les variables Pascala,betce´tnatuttoes trois de type integer?enmmteenrponser´edeunmenaOdnde´eecr´epncieer´pxe’lcevatroppa e´tudi´eeet,enparticulier,quesoientpr´ecis´eeslesvaleursdesparame`tresu,d,tetndans la simulationpropos´ee. Dans toute la suite,m,ietjedtntnesto:eate´lsrenn,orsietuna (   m! m sii+j6m = i!j!(m−i−j)! i, j 0 sii+j > m