ESSEC 2002 mathematiques i classe prepa hec (ect)

Description

£¥¥£££¥£Þ£CONCOURS D’ADMISSION DE 2002Option technologiqueMATHEMATIQUESLundi 6 Mai 2002 de 8h à 12hLa présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matérielélectronique est interdite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sursa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.EXERCICE I : Comparaison de deux placements1°) Etude d'une fonction auxiliaireOn considère la fonction définie pour tout nombre réel positif x par :3 2F(x) = x + 4x + 6x – 1.a) Déterminer le sens de variation de F sur IR .+b) Déterminer les valeurs prises par F en 0, 1/2, 1 et sa limite en + .c) Prouver que F s'annule une fois et une seule sur [0, + [ en un point r* compris entre 0 et 1/2, etdéterminer le signe de F sur [0, r*[ et sur ]r*, + [.2°) Détermination de valeurs approchées de r*On considère la fonction définie pour tout nombre réel positif x par :1G(x) = .2x + 4x + 62a) Déterminer un encadrement de x + 4x + 6 pour 0 x 1/2 et en déduire que :1 1 0 x 0 G(x) .2 ...

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• Langue: Français

Extrait

CONCOURS D’ADMISSION DE 2002

Option technologique

MATHEMATIQUES

Lundi 6 Mai 2002 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des

raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Les candidats sont invités à

encadrer

dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.

Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel

électronique est interdite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.

Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur

sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

EXERCICE I : Comparaison de deux placements

1°) Etude d'une fonction auxiliaire

On considère la fonction définie pour tout nombre réel positif

x

par :

F

(

x

) =

x

3

+ 4

x

2

+ 6

x

– 1.

a) Déterminer le sens de variation de

F

sur IR

+

.

b) Déterminer les valeurs prises par

F

en 0, 1/2, 1 et sa limite en +

∞

.

c) Prouver que

F

s'annule une fois et une seule sur [0, +

∞

[ en un point

r

* compris entre 0 et 1/2, et

déterminer le signe de

F

sur [0,

r

*[ et sur ]

r

*, +

∞

[.

2°) Détermination de valeurs approchées de

r

*

On considère la fonction définie pour tout nombre réel positif

x

par :

G

(

x

) =

1

x

2

+

4

x

+

6

.

a) Déterminer un encadrement de

x

2

+ 4

x

+ 6 pour 0

≤

x

≤

1/2 et en déduire que

:

0

≤

x

≤

1

2

⇒

0

≤

G

(

x

)

≤

1

2

.