ESSEC 2003 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

Description

6ESSEC 2003, Math 1, option S.Dans tout le probl`eme, on d´esigne par n un entier naturel et par :•R [x] l’espace vectoriel des fonctions-polynomˆ es de degr´e inf´erieur ou ´egal a` n.nn n• C (R) l’espace vectoriel des fs r´eelles de classe C surR.0En particulier, C (R) est l’espace vectoriel des fonctions r´eelles continues surR.0A toute fonction f appartenant `a C (R), on associe l’application not´ee φf d´efinie surR par :Z xφf(x) = f(t)dtx−10On d´efinit ainsi un endomorphismeφ de l’espace vectorielC (R) dont on se propose dans la suited’´etudier quelques propri´et´es au travers de parties qui sont largement ind´ependantes.Partie I: G´en´eralit´es.1) Dans cette question, on ´etudie quelques propri´et´es de φf en fonction de celles de f.a) Prouver l’´egalit´e suivante, pour toute fonction continue f et tout nombre r´eel x :Z 1φf(x) = f(x+u−1)du0b)On suppose la fonction f paire (resp. impaire). Exprimer φf(−x) en fonction de φf(x+1).c) On suppose la f f croissante (resp. d´ecroissante). Est-ce le cas de φf ?d)On suppose la fonction f convexe (resp. concave). Est-ce le cas de φf ?e) On suppose que la fonction f a une limite L en ±∞. Est-ce le cas de φf ?2) Dans cette question, on ´etudie l’endomorphisme induit par φ surR [x].na) Montrer que R [x] est stable par φ. On note alors φ l’endomorphisme induit par φ surn nR [x].nb)D´eterminer la matrice de φ dans la base canonique deR [x].n nc) D´eterminer les valeurs propres et vecteurs propres de φ ...

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ESSEC 2003, Math 1, option S.

Danstoutleprobl`eme,onde´signeparnun entier naturel et par : •R n [x´freeiruedrge´niaou´egal`]’lecevseapldieorcttincfoesylop-snoedsemoˆnn. n n •C(Reslcsaseedeellceveirote’l)capsioctr´nsdeelonsfCsurR. 0 En particulier,C(Rtnoceunirussctonnsioeer´esllpse’ltse)sfdeelritoecevacR. 0 A toute fonctionfraetantna`appC(Ronnoitacee´tcisoasonlipp’ael,)φfesurefini´dRpar : Z x φf(x) =f(t) dt x−1 0 Onde´finitainsiunendomorphismeφde l’espace vectorielC(R) dont on se propose dans la suite d’´etudierquelquesproprie´t´esautraversdepartiesquisontlargementind´ependantes.

PartieI:G´ene´ralite´s.

1)´eetesdaDqettecsnuestion,on´etudiqeeuqleupsorrp´iφfen fonction de celles def. a)nocnoitcnofetuotenutiagil’le´vurePorpournte,uivat´esfmbnouttoeert´reelx: Z 1 φf(x) =f(x+u−1) du 0 b)On suppose la fonctionfpaire (resp. impaire). Exprimerφf(−x) en fonction deφf(x+ 1). c)On suppose la fonctionfrc-celecasdeorceassi)etntsE.ssoiteanes(rd´p.φf? d)On suppose la fonctionfconvexe (resp. concave). Est-ce le cas deφf? e)On suppose que la fonctionfa une limiteLen±∞. Est-ce le cas deφf? 2)´pehtiusdmieeilns’teinodno,moonrecttqeeuudtiaapDsrnφsurR n [x]. a)Montrer queR n [x] est stable parφ. On note alorsφ n l’endomorphisme induit parφsur R n [x]. b)rtcideeamalrenimrete´Dφ n dans la base canonique deR n [x]. c)evtcseterppouesreresd´Dreteenimesrllevaspurprroφ n . 3)e´tiedjeurivctenestc´eastDlatseuqette´no,noi’ieldituvitiecnjφ. 0 1 a)Montrer, pour toute fonctionfdeC(R), queφfest de classeCire´dasresice´rpetr.Pouv´ee   k j quelles valeurs du nombre entierjl’espace vectorielφ C(R) est-ilinclus dansC(R) ? b)Montrer que Ker(φctonsfdep´1-nsioe)e´mroftsralet´egesurnulliduqreoi’dniseteode.´eriunep c)L’endomorphismeφest-il surjectif? injectif? 4)derospesprtecsnaDon,on´ettequestilee´emtndueiel´sφ. a)orrpuOenprenuerlavesnoce`diλ, de l’endomorphismeφdtnemertbmonnutileer´re,auλ 0 tel qu’il existe une fonction non nullefnanea`tappartC(Ranifit)re´vφf=λf. Montrer que toute fonction propref´icossarperproaleuunevee`aλ6-ta`’cse=,0teir-douet ∞ fonction continue non nulleftelle queφf=λfseasrimee,ts´ncealcedtneessCsurR. b)esnˆomcnitseofopylno-selQutlonsslefqui sont fonctions propres deφ? c)ntMor,reurpoottuonbmer´reelλ >0, qu’il existe une et une seule fonction exponentiellef ax d´efinieparf(x() = ea∈R) telle queφf=λf. End´eduirequetoutnombrere´elλ >0 est valeur propre deφ. d)r´eeltuonbmer,ropruotertnoMλ >,quelaseee1bnoi´nrofelutcnofappartenant au sous- espacepropreassocie´`aλest la fonction nulle. Danslasuiteduproble`me,on´etudielesous-espacepropreE 1 (φ)associ´e`lavalaueprorrpe 1,c’est-`a-direl’ensembledesfonctionscontinuesfnatrefiiv´φf(x) =f(x) pour tout nombre r´eelx, ou : Z x f(t) dt=f(x) x−1