HEC 2001 mathematiques i classe prepa hec (stg)

Description

CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLEDES HAUTESETUDESCOMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLESUPERIEURE DECOMMERCE DELYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION TECHNOLOGIQUEMATHEMATIQUESILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document: l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.L’´epreuve est compos´ee de deux exercices ind´ependants.EXERCICE IUne ´election comporte trois candidats et n votants, ou` n est un entier sup´erieur ou ´egal a` 3. Chaque votantdonne sa voix a` l’un ou l’autre de ces trois candidats. Tout candidat qui a obtenu au moins une voix est ´elu. Onsuppose que chaque vote se porte au hasard, de fa¸con ´equiprobable, sur un de ces candidats et que les votes sontmutuellement ind´ependants. Le vote se faisant par correspondance, le d´epouillement se fait au fur et a` mesurede la r´eception des bulletins de vote et, pour tout entier naturel k au plus ´egal a` n, on note u la probabilit´ekqu’apr`es r´eception du k-i`eme bulletin, un seul candidat ait obtenu des voix, v la ...

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION TECHNOLOGIQUE MATHEMATIQUES I

Lapr´esentation,lalisibilit´e,l’orthographe,laqualit´edelar´edaction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvit´esa`encadrerdanslamesuredupossiblelesre´sultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument:l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautorise´e.

L’´epreuveestcompose´ededeuxexercicesind´ependants.

EXERCICE I

Une´electioncomportetroiscandidatsetntavous,on`tnChaq`a3.tantuevoueire´pulage´uortuesrsientne donnesavoixa`l’unoul’autredecestroiscandidats.Toutcandidatquiaobtenuaumoinsunevoixeste´lu.On supposequechaquevoteseporteauhasard,defa¸con´equiprobable,surundecescandidatsetquelesvotessont mutuellementind´ependants.Levotesefaisantparcorrespondance,led´epouillementsefaitaufuret`amesure delar´eceptiondesbulletinsdevoteet,pourtoutentiernaturelkapuul´sgelaa`n, on noteu k libae´tilaprob qu’apre`sr´eceptiondukublle`emu,snteniandieulcitobdatavsedunet,xio-iv k uptcendio`epr´esralilabobpr’aqu´eit ktenucahcxoievunnsoiumuaenllubnitei-eme`ianeottbnaidadstentdeuxc,exactemw k orpalseapr`equ’lit´babi re´ceptionduk-rostcaisidndsaatme`ilubeitelel,nsunevoixchacun.eitnboetunuaomni 1. (a)Pre´ciserlesnombresu 1 ,v 1 etw 1 . 1 2 (b)Justifierlese´galit´es:u 2 =, v 2 =, w 2 = 0. 3 3 (c)Enutilisantlaformuledesprobabilit´estotales,montrerqu’ilexisteunematriceMurpouttoe´irafitnv entier naturelklunnrsteonemtncietreeini´fur`an:    u k+1 u k    v k+1 =M v k w k+1 w k

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