EXERCICE 3 3 1.Onconsid`ereRmuni de sa base canonique (e1, e2, e3soit) ;tl’endomorphisme deR, dont la matriceassocie´eTlernemevitat`acettebases’´ercti: 1 1 1 T= 01 0 0 1 0
Calculer les valeurs propres detedseelssnireetmrD.e´roprcespespaous-te,se´icossarneontd une base de chacun d’entre eux. L’endomorphismet?? Est-il bijectifest-il diagonalisable L’objetdesquestionssuivantesestuneg´ene´ralisationdesre´sultatspr´ece´dents. ∗2n+1 2. Soitnun entier deNlee’pscaveceotir.Onconsid`erleR1 muni de sa base canonique 2n+1 (e1, e2,∙ ∙ ∙, e2n+1). Soittl’endomorphisme deR´dinfier:pa – pourtout entieride [1,2n+ 1],aveci6=n+ 1 :t(ei) =e1; –t(en+1) =e1+e2+∙ ∙ ∙+e2n+1. a)D´eterminerlamatriceTehismmorpendoee´i’la`acosstre(sealabtna`evemalite1, e2,∙ ∙ ∙, e2n+1) b)De´terminerlerangdet, ainsi que la dimension du noyau det. c) Justifier que 0 est valeur propre detetmrD.e´ladiineriondmensse-suosuporpecapre associ´e`alavaleurpropre0,ainsiqu’unebasedecesous-espace. 2n+1 3. Montrerque Im(t◦t)⊂Im (t(Im`u,o)unu’degami’lengis´e)dehismmorpendoudeR ˜ ˜ 4. Soittslunei’m(rImodnhproemsifie´dt) par : pour toutxde Im(t),t(x) =t(x) P 2n+1 ´ ´˜ Etablir queB=e1, ei(constitue une base de Imtlamarireeeea`sastorcii´c.cE)t i=1 relativementa`labaseB 5. a)Soitλune valeur propre non nulle det, etxvecteurpunco´i`eaorrpaessλ. Montrer que x(mIpaapeitra`tnt). b)Ende´duiretouteslesvaleurspropresdet. L’endomorphismetest-il diagonalisable?
` PROBLEME Touteslesvariablesal´eatoiresquiinterviennentdansceproble`mesontconside´re´escommed´efiniessur desespacesprobabilis´esnonn´ecessairementidentiques,maisqui,parsoucidesimplification,seront tousnote´s(Ω,A,P)