ISFA 2001 1ere epreuve de mathematiques

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I. S. F. A. 2001-2002 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. - I - Soit la matrice carrée d’ordre 3 12−−2 1  M2=×−1−2.  3 −−221 3On note f l’application linéaire associée à la matrice M dans la base canonique de l’espace euclidien R . La 3notation désigne le produit scalaire standard des éléments u et v de R . a- Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice M. b- Soit e un vecteur propre de norme euclidienne 1 associé à la valeur propre –1. Montrer que tout élément 3u de R peut se décomposer d’une manière unique sous la forme : u(=λu)e+u' avec < u',e> = 0 . Donner les expressions de λ(e) puis de λ(v) pour v orthogonal à e. 3c- On note E l’ensemble des éléments de R défini par : 3 E{=∈uR/ 0=}. (i) Montrer que u∈ E si et seulement si λ=(u) u' . (ii) Soit u et v deux éléments de E . Déduire de (i) que u+v est élément de E si et seulement si u et v sont liés. (On pourra utiliser l’inégalité de Scharwz). 3(iii) Donner les sous espaces vectoriels de R inclus dans E. 3d - Soit F l’ensemble des éléments de R défini par : 3 F{=∈uR/ ≤0}. (i) Montrer que u∈F si et seulement si λ≥(u) u' . (ii) Soit u et v deux éléments de F linéairement indépendants. Montrer que l’élément λ−(v)uλ(u)v n’appartient pas à F. 3En déduire les sous ...

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Extrait

I. S. F. A. _________

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

2001-2002 _________

Concours d'Entrée _______________

- I - Soit la matrice carrée d’ordre 3 1−2−2  1  M= ×−2 1−2 .  3 −2−2 1   3 On note fl’application linéaire associée à la matrice M dans la base canonique de l’espace euclidien R . La 3 notation <u,v> désigne le produit scalaire standard des éléments u et v de. R a- Déterminerles valeurs propres et vecteurs propres de la matrice M. b- Soit e  unvecteur propre de norme euclidienne 1 associé à la valeur propre –1 . Montrer que tout élément 3 u de R peut se décomposer d’une manière unique sous la forme : u= λ(u)e+u ' avec <u',e> = 0 . Donner les expressions de λ(e) puis deλ(v) pour v orthogonal à e. 3 c- Onnote E l’ensemble des éléments de Rdéfini par : 3 E={u∈R /<u, f (u)>=0} . (i) Montrerque u∈E siet seulement si λ(u)=.u ' (ii) Soitu et v deux éléments de E . Déduire de (i) que u+v est élément de E si et seulement si u et v sont liés. (On pourra utiliser l’inégalité de Scharwz). 3 (iii) Donnerles sous espaces vectoriels de Rinclus dans E. 3 d - SoitF l’ensemble des éléments de Rdéfini par : 3 F={u∈R /<u, f (u)>≤0} . (i) Montrerque u∈et seulement siF si λ(u)≥u '. (ii) Soit u et v deux éléments de F linéairement indépendants. Montrer que l’élément λ(v)u− λ(u)v n’appartient pas à F. 3 En déduire les sous espaces vectoriels de Rinclus dans F. + + (iii) Onnote E(respectivement F) les éléments u de E (respectivement de F) tels que<u, e>≥0 . +3+  Montrerque F={v∈R /∀u∈E<v, u>≥0} .

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