Les calculatrices sont autorisees

Description

Niveau: Supérieur
Les calculatrices sont autorisees Les deux problemes sont independants. On fera l'application numerique chaque fois que cela est possible. Le symbole SI designe l'unite homogene a la grandeur physique consideree, dans le cadre du Systeme International d'unites. *** N.B.: Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de la redaction. Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. *** PROBLEME I MESURE DE RESISTANCES Abreviations : - force electromotrice f.e.m. - approximation des regimes quasi-stationnaires A.R.Q.S. - x tres grand devant y x? y Donnees : Dans un repere de coordonnees cylindriques (r,?,z) rapporte au repere orthogonal (~er,~e?,~ez), on rappelle les formules suivantes : ~X = Xr~er +X?~e? +Xz~ez ~? f (r,?,z) = ???grad f = ∂ f∂r~er + 1 r ∂ f ∂?~e? + ∂ f ∂z~ez div~X = 1 r ∂(rXr) ∂r + 1 r ∂X? ∂? + ∂Xz ∂z ∆ f (r,?,z) = 1 r ∂ ∂r ( r ∂ ∂r f )

• relation entre la resistivite ? du materiau


• resistance


• points de contact o1


• equation ?


• microamperemetre


• masse du circuit


• resistor de resistance connue


• repere de coordonnees cylindriques


• expression du champ electrique

Sujets

• Système
• Résistance

Informations

• Publié par: les_cours_d_alain
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• Langue: Français

Extrait

Lescalculatricessontautorise´es
Les deux proble`messontinde´pendants. On feral’applicationnume´riquechaquefoisquecela est
possible. Le symboleSI de´signel’unite´ homoge`nea` lagrandeurphysiqueconside´re´e,danslecadre
duSyste`me Internationald’unite´s.
***
N.B.: Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de la` ´ ` ´ `
re´daction. Si un candidat est amene´ a` repe´rer ce qui peut lui sembler eˆtre une erreur d’e´nonce´, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a e´te´
amene´ a` prendre.
***
`PROBLEME I
´MESURE DE RESISTANCES
Abre´viations:
- force e´lectromotrice f.e.m.
- approximation des re´gimes quasi-stationnaires A.R.Q.S.
- x tre`s grand devanty x≫y
Donne´es :
Dans un repe`re de coordonne´es cylindriques(r,θ,z) rapporte´ au repe`re orthogonal
(~e ,~e ,~e ), on rappelle les formules suivantes :r θ z
~X = X~e +X ~e +X~er r θ θ z z
−→ ∂f 1∂f ∂f~∇f(r,θ,z) = gradf = ~e + ~e + ~er zθ
∂r r ∂θ ∂z
1∂(rX ) 1∂X ∂Xr θ z~divX = + +
r ∂r r ∂θ ∂z
2 21 ∂ ∂ ∂ ∂ −−→
Δf(r,θ,z) = r f + f + f = div gradf
2 2 2r∂r ∂r r ∂θ ∂z
I.1Mesure directe
On dispose d’un re´sistor de re´sistance inconnueX.
1/12- I.1.1 Pour de´terminer X, on place en se´rie un re´sistor de re´sistance connue r = 100 Ω, un
ge´ne´rateur de tensione= 1,50 V et un ampe`reme`treA de re´sistance ne´gligeable. Repre´senter
le circuit correspondant.
- I.1.2 Montrer que la mesure de l’intensite´I du courant traversant le circuit permet de remonter
a` la valeur de X. L’incertitude sur la valeur de la re´sistancer et sur la valeur de la f.e.me sont
respectivement de 0,5% et 1% tandis que la lecture de l’ampe`reme`tre donne 4,29 mA avec
0,1% d’erreur. Donner la valeur de X ainsi que l’incertitudeΔX portant sur cette mesure.
- I.1.3 Comment appelle-t-on un appareil fonctionnant sur ce principe ? La mesure est-elle
pre´cise ?
I.2Pont deWheatstone
B
R R2v
r CA
μΑ
RX 1
D
e
Figure1
La re´sistance inconnue X est place´e dans le montage (classique) de la Figure 1, appele´ pont
de Wheatstone. Entre les bornes B et D est place´ un microampe`reme`tre de re´sistance interne
ne´gligeable, prote´ge´ par une re´sistance r = 100 Ω. Les re´sistances R , R sont des re´sistances1 2
e´talons et R une re´sistance e´talon variable (obtenue par exemple au moyen de boˆıtes de re´sistancesv
monte´es en se´rie).
- I.2.1 De´terminer dans le cas ge´ne´ral, et en fonction de la f.e.me et des diffe´rentes re´sistances,
l’intensite´ I traversant le microampe`reme`tre.
Indication : on cherchera le ge´ne´rateur de Norton (ou de The´venin) e´quivalent, entre les
bornesB et D,au re´seauconstitue´ du ge´ne´rateuret des quatrere´sistancesR , R , R et X.1 2 v
- I.2.2 Donner la condition sur R , R , R et X, pour laquelle le courant traversant le mi-1 2 v
croampe`reme`tre s’annule.
- I.2.3 On choisit R = 100,0Ω, R = 1,000 kΩ et la mesure donne R = 2520Ω lorsque le1 2 v
pont est e´quilibre´. Les re´sistances R , R , R sont pre´cises a` 0,1% pre`s. Le ge´ne´rateur et la1 2 v
re´sistance r sont les meˆmes que ceux de la question I.1.1.
Calculer la valeur de X et l’incertitudeΔX associe´e a` cette mesure.
2/12θ
Aiguille
e
reB zRessort
eθ
Sens de parcours du courant
I
B
Figure2
- I.2.4 Le microampe`reme`tre n’est autre qu’un galvanome`tre a` cadre mobile. Le courant I a`
mesurer circule dans un enroulement ayant la forme d’un carre´ deℓ= 2 cm de coˆte´. L’enroule-
ment est un cadre plat contenant n = 10 spires. Les portions du circuit paralle`les a` l’axe des
rotation sont plonge´es dans le champ magne´tique d’un aimant de 0,1 T. Le champ magne´tique
produit est stationnaire, contenu dans le plan du circuit et perpendiculaire a` l’axe de rotation
(coline´aire a`~e , voir Figure 2). Le cadre est maintenu par un ressort de torsion dont le coupler
−1−8de rappel Γ est proportionnel a` l’angle de de´viationθ : Γ =−kθ avec k = 2× 10 J.rad .
De´terminer l’angle de de´viation associe´ a` un courant I de 15µA.
- I.2.5 Faute de galvanome`tre, on se propose d’utiliser a` la place le montage a` amplificateur
ope´rationnel (A.O.) suppose´ ide´al, repre´sente´ sur la Figure 3. Les conditions de fonction-
nement en re´gime line´aire sont-elles remplies ?
+ sE −
F vV s
R RE F


Figure3
- I.2.6 Les bornes B et D du pont de Wheatstone sont branche´es respectivement aux bornes E
et F du circuit, duquel le microampe`reme`tre et la re´sistance r ont e´te´ retire´s. Les re´sistances
R et R sont e´gales a` 100 kΩ. Un voltme`tre mesure la tension de sortie V de l’A.O ide´alE F s
(remarque : en particulier la tension d’offset est nulle). Expliquer de quelle fac¸on ce montage
peut remplacer le microampe`reme`tre de la question I.2.3.
3/12I.3Re´sistance d’undisque conducteur ohmique
z re
ri
r
θ
e
e
Figure4
~ ~- I.3.1 Rappeler la relation entre la densite´ de courant j et le champ e´lectrique E re´gnant dans
un conducteur ohmique de conductivite´σ. Donner la relation entre la re´sistivite´ρ du mate´riau
et la conductivite´σ. Quelles sont les unite´s deρ etσ ?
- I.3.2 Ecrire les e´quations de Maxwell dans un conducteur ohmique, dans l’approximation
A.R.Q.S. Que vaut la densite´ de charge e´lectrique a` l’inte´rieur du milieu conducteur ? En
~de´duire la valeur de divE dans le conducteur.
- I.3.3 La distribution de charges et de courants est suppose´e stationnaire. De´duire de la ques-
tion pre´ce´dente une e´quation pour le potentiel e´lectriqueV.
- I.3.4 Un conducteur a la forme d’un mince cylindre d’e´paisseur e et de rayon r (Figure 4).e
Au centre du cylindre arrive un fil conducteur qui forme un contact circulaire de rayonr petiti
devantr . Le disque est rapporte´ a` un repe`re de coordonne´es cylindriques(r,θ,z). On supposee
valides les hypothe`ses suivantes :
1. Les grandeurs physiques ne de´pendent pas de z.
2. La zone cylindrique r≤r de rayon r , situe´e juste sous le contact du fil conducteur, esti i
a` potentiel constantV .i
3. La circonfe´rence exte´rieure du cylindre (ensemble des points de la surface late´rale telle
quer =r ), relie´e a` la masse du circuit, est a` potentiel constant nul.e
De´terminer en tout point du disque la valeur du potentielV(r,θ).
Indication: on pourrautiliserle formulairedonne´ en premie`re page d’e´nonce´.
~- I.3.5 De´terminer l’expression du champ e´lectrique E(r,θ).
- I.3.6 En de´duire l’expression de l’intensite´ totale I traversant une surface cylindrique quel-
conque d’axe(Oz), de rayon r (avec r <r<r ) et de hauteur e. I de´pend-elle de r ?i e
- I.3.7 Calculer la re´sistance R =V/I du disque. Montrer que cette re´sistance s’e´crit sous lai
forme
re
K ln( )
ri
expression dans laquelle K est une constante qui sera de´termine´e en fonction des donne´es de
l’e´nonce´.
4/12- I.3.8 On place maintenant deux fils identiques faisant contact pre`s du centre du disque (Fi-
gure 5 a` gauche). Les deux fils sont se´pare´s d’une distance d petite devant r mais grandee
devantr . Montrer que le potentiel qui, en tout pointM, ve´rifie :i
!−−→
||O M||1
V(M)=C ln −−→
||O M||4
est une solution de l’e´quation a` laquelle doit obe´irV .
Trouver la valeur de la constanteC pour laquelle les conditions aux limitesV =V a` proximite´1
deO , etV =V =−V a` proximite´ deO sont ve´rifie´es (a` proximite´ signifiant a` une distance1 4 1 4−→
||OM||=r du point, et on suppose dans le calcul que r peut eˆtre ne´glige´ devantd).i i
En de´duire la limite, pour r≫d, du potentielV(M).
dd
I I
θ
1 41 4 2 3
droite D
dd O O O O OO 41 4 1 32
Figure5
- I.3.9 Quelle est la forme ge´ome´trique des e´quipotentielles deV(M) ?
- I.3.10 Exprimer le champ e´lectrique en tout point de la droite D , me´diatrice du segment
[O O ] dans le plan du disque.1 4
Indication: onde´termineraaupre´alableparunargumentdesyme´triel’orientationduvecteur
~E en un point de la droiteD. Pour cela, il faudra de´terminer si le plan vertical contenantD
est unplande syme´trieou d’antisyme´triedu syste`me.
- I.3.11 Exprimer l’intensite´ totaleI traversant le plan vertical contenant la droiteD , et d’e´quation
πθ=± dans le repe`re de coordonne´es cylindriques.2
- I.3.12 Exprimer la re´sistance du dipoˆle e´quivalent situe´ entre les points de contact O et O1 4
en fonction de la re´sistivite´ρ et des longueursd, r et e, dans le cas ou` r ≫d.i e
´