Mathématiques 2000 Classe Prepa HEC (S) Concours ESC

Description

Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2000 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2000

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 89
• Langue: Français

Extrait

ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE

EPREUVES ESC CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUES

OPTION SCIENTIFIQUE

Lapre´sentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualit´edelar´edaction,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies.Lescandidatssontinvit´esa`encadrer,dansla mesuredupossible,lesre´sultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument; L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmat´eriel´electroniqueestinterditpendantcette´epreuve.

Seulel’utilisationd’uner`eglegradu´eeestautorise´e.

1

Exercice 1 Partie A × 1.SoitΦlafonctionde´finiesurRpar: Φ(x) = lnx. + V´erifierque: k−1 (−1).(k−1)! × × (k) ∀k∈N,∀x∈R,Φ (x) =. + k x 2. Montreralors que: n k n+1 X (−1)t ×k ∀t∈[0,1],∀n∈N,ln(1 +t) +t≤.  k  n+ 1 k=1 n (−1) 3.Ende´duirequelas´eriedetermeg´ene´ral(avecn≥1) converge et donner sa somme. n Partie B Onde´finitsurRtionfonclae´reullee´munqirefpar :  ftpesri´e2´preoieddoqieued pour toutx∈]−1,1[, f(x) =x.(1− |x| 1. Montrerquefest continue surRe´etd[ruavirselb−1,1]. 2. Donnerles variations defsur [−1,1]. n 3.V´erifierque:∀n∈N,∀x∈[0,1], f(x+n) = (−1)f(x). 4.Ond´esigneparCocalebrurperese´atntedivefreoeer`ponmrtrohunit´ed’m.Re´e2ctnese´rpselredaunns points deCd’abscisse comprise entre−2 et 3.

Partie C Soitglusrnd´efinieafonctioRpar :   f(x) g(xsi) =x6= 0 x  g(0) = 1 1. Montrerquegest continue surR. n+1 R 2. Pourn∈N, on pose:u n =g(x)dx. n En utilisant le changement de variablet=x−net la question 3. de la partie B, montrer que, pour tout n∈N: 1 Z f(t) n u n = (−1). dt. t+n 0 3.End´eduireque: 1 1 × ∀n∈N,≤ |u n | ≤. 6(n6+ 1)n Lase´riedetermege´ne´ralu n ?est-elle absolument convergente 4. (a)V´erifierque: 2 x(1−x)n+n +× ∀x∈R,∀n∈N,=−x+ (n+ 1)−. x+n x+n (b)End´eduirel’expressiondeu n en fonction den. 1 5.Enutilisantund´eveloppementlimite´deu n neod,rennnalaretuladeers´laern´´eegrmtedeieu n . n

2

Exercice 2 Pourn∈N,R n [Xluseaupeeslst´rge´rd,ded´esignel’espace]omnˆ`aesefficoencitceveirosedlylopn. Soitf l’applicationqui,a`toutpolynˆomePdeR n [Xocsseli´,a]emlopeoˆnyQdnfie´ipar: 0 Q(X) =P(X+ 1) +XP(X)

Partie A 1. Montrerquefest un endomorphisme deR n [X]. 2. Donnerla matriceMdefdans la base canonique deR n [X]. 3.fest-il un automorphisme deR n [X]? Partie B 1. Quellessont les valeurs propres def? L’endomorphismefest-il diagonalisable? 2. (a)Montrerqu’ilexisteunpolynoˆmeP n non nul deR n [X] tel que:f(P n ) = (n+ 1)P n . (b)V´erifierqueP n etseded´egrn. 3. (k) (k) (a) Montrerque:∀k∈[0,n]], f(P n ) = (n+ 1−k)P n .   (k) (b)End´eduirequeP n est une base deR n [Xedevecteurspropres]ocsnitute´def. 0≤k≤n (c) Donnerla matriceDdefdans cette base. Partie C Dans cette partie,nlespfinitnd´e=2.OsoˆemlonyE 0 , E 1 etE 2 par   E 0 = 1 0 E=E 0 etE 1 (1) = 2E 1 (0) 1  0 =Eet (0) E 2 1 E 2 (1) = 3E 2 1.ExpliciterlespolynoˆmesE 1 etE 2 . 2. Montrerque (E 0 ,E 1 ,E 2 ) est une baseBdeR 2 [Xdee´ceveruetorpsesprdeform]f. 2 3.Calculerlescoordonn´eesdupolynˆomeQ(X) =X+X+ 1dans la baseB. 02 4.D´eterminerlepolynˆomePdeR 2 [X] tel que:P(X+ 1) +XP(X) =X+X+ 1.

3

Exercice 3 petqxreuel´evesacde´isngnedtp∈]0,1[ etq= 1−p. Onconsid`ereunevariableal´eatoirere´elleXayant pour loi:  X(Ω) =N k P(X=k) =pq,∀k∈N. 1. CalculerE(X) etV(X). 1 2. OnposeY= . X+ 1 (a)D´eterminerlaloideY. (b)Justifierl’e´galit´e: n n+1 X 1x i ∀x∈[0,1[,∀n∈N, x=−. 1−x1−x i=0 Ende´duireque: t n+1 Z X k n+1 t x × ∀t∈[0,1[,∀n∈N,+ ln(1−t) =dx. k x−1 k=1 0

(c) Montrerque :

Prouver alors que:

(d) CalculerE(Y).

t Z n+1n+2 x1t × ∀t∈[0,1[,∀n∈N, dx≤. . x−1 1−t n+ 2  0

+∞ k X t ∀t∈[0,1[,=−ln(1−t). k k=1

3. SoitZbaellae´uenavireelle`avatoirer´snuelaadsrNtelle que, pour toutk∈N, la loi conditionnelle deZ sachant (X=k) est uniforme sur[0,k]].

(a) Pourz∈Netk∈N, donner la valeur deP(Z=z/X=k). (b)D´eterminerlaloideZrmfoussoees´islaarese´tilibaborpmm)eehnco(sdeeuuq’a. (c) CalculerE(Z).

4. SoitTbseaumoleal´irtoairaaelbvenueursdansun`evalanectnoitR + telle que, pour toutk∈N, la loi conditionnelle deTsachant (X=kxeope)tseillentnepedamartr`eek+ 1.

(a) Pourt∈R + etk∈N, exprimerP(T≤t/X=k). (b)End´eduirelafonctiondere´partitiondeT. (c)Donneralorsunedensite´deT. (d)Al’aided’uneint´egrationparparties,calculerE(T).

4