Mathématiques 2004 Classe Prepa HEC (ECE) Ecole Supérieure de Gestion (ESG)

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Examen du Supérieur Ecole Supérieure de Gestion (ESG). Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 95
• Langue: Français

Extrait

ESG2004 CONCOURS FORMULEÉCONOMIQUE ÉPREUVE DEMATHÉMATIQUES1 Lundi 26 avril 2004 de 14 h à 18 hDurée.4 heuresCoefficient: 3 EXERCICE D'ALGÈBRE (sur 5 points) 3 L’espace vectorielErapporté à la base canonique= estC= (c 1 ;c 2 ;c 3 ) avec R c 1  = (1 ; 0 ; 0) ,c 2  = (0 ; 1 ; 0),c 3  = (0 ; 0 ; 1) . On notéI3 et la matrice unité d'ordreOd'ordre 3. la matrice nulle On considère l’endomorphismeu deEdéfini par : u(c 1 ) = 4c 1 +c 2 +c 3  ;u(c 2 ) =c 1 + 4c 2 +c 3  ;u(c 3 ) =c 1 +c 2 + 4c 3 1°) Déterminerla matriceAassociée àu dans la baseC. 2°) Calculer (A-I)(A-6I) . 3°) On considère les vecteursb 1  =c 1 -c 2  ,b 2  =c 1 -c 3  etb 3  =c 1 +c 2 +c 3 . a) Montrer queB= (b 1 ;b 2 ;b 3 ) estune base deE . b) SoitP la matrice de passage de la baseCà la baseB.Déterminer par la méthode du pivot de Gauss la -1 matriceP c) Déterminer la matriceM deu relativement à la baseB. n nn-1 4°) Pour tout entier naturel non nuln , calculerM , et exprimerA enfonction deM ,PetP . EXERCICE D'ANALYSE (sur 10 points) Pour tout entier naturel non nuln , on note la fonctionf n  définie sur [ 0 ; +¥[ par : n-x n  (x) =. OnnoteC n la courbe représentative deif O r r j. f n  dans un repère orthogonal; ; n! A) Étudier les variations def n sur [0 ; +¥[ .Pourn> 2, étudier la position relative deC n et de C n-1 et vérifier que le point deC n ,A(n;f n (n) )est aussi surC n-1 . B) Étude de la suite(u n ) définie pourn³1 paru n =f n (n) . 1°) Enutilisant les résultats de la partie A), montrer que (u n ) est décroissante. 2 t 2°) Soitgpar :sur [0; 1] la fonction définieg(t) = ln(1+t) –t+ . 4 2 t a) Montrer que pour touttln(l + de [0 ; 1],t)£t- . 4 n 1 1- æ 1 ö 4n b) En déduire que pour tout entiern³11 ,+ £e ç ÷ è n ø 1 u n+1 - 4n 3°) a)Montrer que pour tout entiern³1£e. u n 1 æ 1 1 -1-1+ +...+ ç 4 è 2n-1 b) En déduire que pour tout entiern³2 ,u£e n n dt1 1 4°) a)Montrer que pour tout entiern³2 ;£1+ +...+. ò t2n-1 1

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1 -1-ln(n) 4 b) En déduire que pour tout entiern³2,u n £e. Quelle est la limite de la suite (u n )? a n -t t e C) Poura réel fixé, positif, et pour tout entiern³1 on poseI n (a) =dt ò n! 0 1°) CalculerI 1 (a) . n t 2°) Montrerque pour toutn³1 , pour toutt³0 ,0£f n (t)£ . n! En déduire un encadrement deI n (a) . n 1 æ e ö 3°) Montrer que pour toutn³1,<. Donner alors une nouvelle majoration deI n (a) , ç ÷ n! è n ø puis la limite deI n (a) quand n tend vers +¥. 4°) Trouver lorsquen³2, une relation entreI n (a) etI n-1 (a) et en déduire que pour toutn³2, n -a æa a -e+ + +. L'égalité estelle valable pourn= 1 ? I n (a) = 1 ç 1 ... 1!n! è n a æa a 5°) Démontrer que pour touta³0e=lim 1+ +...+ . ç n®+¥ 1!n! è EXERCICE DE PROBABILITÉS (sur 5 points) Question préliminaire : q0 <désigne un nombre réel, tel queq < 1 . n-1 k ·Calculer pourn > 2la somme suivante : q å k=0 n-1 k-1 ·En déduire pour n > 2 la somme suivante : kq å k=0 Dans un stand de tir un joueur dispose den fléchettes (nentier fixé, supérieur ou égal à 2) pour tenter de faire éclater un ballon. À chaque essai la probabilité de succès vautp, avec ( ( 1<p< 1 ), et donc la probabilité de l'échec vautq(avecq= 1-p). On suppose que les différents essais sont indépendants les uns des autres et que le joueur s’arrête dès que le ballon éclate (s'il éclate !). 1°) SoitX le nombre aléatoire de fléchettes utilisées par le joueur. a) Quellessont les valeurs que peut prendreX? b) Déterminerla loi de probabilité deX c) Calculer1’espérance mathématique deX . ème 2°) Sachantque le ballon a éclaté, quelle est la probabilité que ce soit avec lan? fléchette 3°) Danscette question on suppose que l'on an= 3,p= 1/2. Si le joueur fait éclater le ballon avec la ème kfléchette ou, s’il a épuisé toute les fléchettes et on posek=3, (kest compris entre 1 et 3), il a le droit de lancer (4-k) fois une pièce équilibrée et il reçoit un euro pour chaque « pile » obtenu.SoitYle gain aléatoire de ce joueur. a) Déterminerla loi conjointe du couple (X;Y) . b) Établirla loi de probabilité deY. c) c)Calculer J'espérance mathématique deY.

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