Mathématiques II 2005 Classe Prepa HEC (ECO) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques II 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2005 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 93
• Langue: Français

Extrait

CCIP MATHÉMATIQUES II OPTION ÉCONOMIQUE Durée 4 heures Mardi 10 Mai2005, de 8 h. à 12 h. La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée. L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés d'un estimateur du paramètrep d'une loi géométrique. Partie I . Formule du binôme négatif . Pour tout couple(n;r) d'entiers naturels tels que0£r£n , on rappelle la formule du n n-1n-1 « triangle de Pascal» := + k k-1k n n k-1 1.Montrer que pour tout entierr de1 ;non a := . , §  k S r-1 ( ) k=r 2. Soit (n;r) un couple d'entiers naturels, tels que1£r£n . Pour tout réelx de ]0 ; 1[ , on définit la fonction n k k f r;n : parf r;n (x) =x. S ( r ) k=r n n+ l a)Montrer, pour tout réelx de ]0 ; 1[ , l'égalité : (1-x)f r;n (x) =xf r-1 ;n-1 (x)-x . k r n n b)On suppose l'entierr fixé. Montrer, lorsquen tend vers+¥, l'équivalence :. ∼ r! r 3. Soitx un réel fixé de]0 ; 1[et soitr un entier naturel fixé. On veut établir l'existence de la limite de f r;n (x) lorsquen tendvers +¥, et déterminer la valeur de cette limite. a)lim Justifier l'existence et donner la valeur def 0 ;n (xlim) etf 1 ;n (x) . n® + ¥n® + ¥ b) Soitr un entier naturel non nul. On suppose que, pour tout réelx de]0 ; 1[ ,on a : r-1 x limf r-1 ;n (x. Montrer que, pour tout réel) =x]0 ; 1[ , de r ® + ¥ (1-) n + ¥ r r x x k k  limf r;n (x) =. Ainsi,x= . S r r+1 ( ) r+1 n® + ¥ (1-x) (1-x) k=r Partie II. Développement en série deln(l-x). Soitx]0 ; 1[ .un réel de x n n k 1-t * 1.Montrer, pour tout entiern de, l'égalité : dt  =. ò 1- S k N t k=1 0 x n t 2.À l'aide d'un encadrement simple, montrer que : limdt = 0 . ò 1-t n® + ¥ 0 + ¥ k k S 3.En déduire la convergence de la série de terme généralainsi que l'égalité=-ln(l-x). k k k=1 Partie III . Loi binomiale négative . 1/5

Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans cette partie sont définies sur un même espace probabilisé(W; ;P) . A * Soitp un réel de]0 ; 1[ . On poseq= 1-p, et on considère une variable aléatoireX, qui à valeurs dans N *k-1 suit la loi géométrique de paramètrep. On rappelle que pour tout entierk de,P(X=k) =p q.1.N Calculer la valeur de l'espéranceE(X) etde la varianceV(Xla variable aléatoire) deX. 1 2.On considère la variable aléatoireYdéfinie parY =. a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises parYainsi que la loi de probabilité deY. b)Montrer queY admet une espéranceE(Y) , que l'on calculera en fonction dep etq . i c)Pour tout entieri2 , établir l'existence du momentsupérieur ou égal àE(Y) d'ordreideY. 3.SoitX 1  etX 2 deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans*, qui suivent la même loi géométrique N 2 de paramètrep. On pose :S 1 =X 1 ,S 2  =X 1 +X 2  ,Y 2  =. S 2 a)Déterminer la loi de probabilité de chacune des variables aléatoiresS 2  etY 2 . b)Établir l'existence de l'espéranceE(Y 2 ) de la variable aléatoireY 2  . c)Calculer cette espérance en fonction dep etq. * 4.(On considère une suiteX n ) nÎ * de variables aléatoires à valeurs dans, indépendantes, de même loi N N n * S géométrique de paramètrep. Pour tout entiern de, onposeS n =X n  . N k=1 a)Calculer l'espéranceE(S n la variance) etV(S n ) dela variable aléatoireS n  . * b)Montrer que la loi de probabilité de la variable aléatoireS n  est donnée, pour tout entiers depar : N s-1 n s-n sis<n,P(S n =s0) =sis³n,P(S n =s) =p q . n-1 n * 5.Pour tout entiern de, on poseY n  =. N S n a)Préciser l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoireY n  ainsi que la loi de probabilité deY n . b)Soitt[0 ; 1[ . Montrer que, pour tout un réel quelconque dem de, la série de terme général Z m sm s S s t( ,s t1 etEn déduire, en particulier, l'existence des moments d'ordreest convergente.) , ³1 2 2 ,E(Y n ) etE(Y n la variable aléatoire) deY n  . Partie IV . Une estimation ponctuelle du paramètrep . * Soitp un réel de]0 ; 1[ . Dans cette partie, on considère une variable aléatoire réelleX à valeurs dans, qui N suit une loi géométrique de paramètrep inconnu. On poseq= 1-p . Pour tout entier naturel non nuln, on considère unnéchantillon (X 1 ;X 2 ; .... ;X n ) devariables aléatoires à * valeurs dans, indépendantes, de même loi queX. N Les variables aléatoiresX;X 1 ;X 2 ; .... ;X n ( sont définies sur un même espace probabiliséW; ;P) . A 2/5

S n 1 On poseX n = =. n Y n 1 1. Montrer que n .est un estimateur sans biais pour le paramètre p 1 Quel est le risque quadratique de n ? en p * 2.Pour tout entiern, on note deh n  etj n applications définies sur[0 ; 1[à valeurs danstelles les N R + ¥+ ¥ 1 s-1 s 1 s-1 s que :"tÎ[0 ; 1[ ,h n (t) =t ,j n (t) =t S s S s ( ) ( - ) n-1 2 n1 s=n s=n 1 On admet dans toute la suite du problème, queh n que pour tout réelest de classeC ett de[0 ; 1[ , la + ¥ s-1 s-1 dérivéeh' n  deh n vérifie :h' n (t) =t . S ( ) n-1 s=n On admet également que la fonctionj n est dérivable surde dérivée]0 ; 1[ ,j' n , et que 1 pour touttde ]0; 1[ ,j' n (t) =h n (t) . t n æ p ö a) Montrer queE(Y n ) =nh n (q) . ç ÷ q è ø q n-1 t Établir que, pour toutq[0 ; 1[ , on a : deh n (q) = ò dt. n ( ) 0 1-t t b)À l'aide du changement de variabley= ,que l'on justifiera, montrer que 1-t q/p n-1 y pour toutqde [0, 1[ ,h n (q) = ò dy . 1+y 0 En déduire, en utilisant une intégration parparties, que l'on peut écrire q/p n n q1y pour toutq[0 ; 1[, deh n (q) =+ ò dy . n-1 2 n pn(1+y) 0 * 3.Pour tout entiern, soit deb n ]0 ; 1[la fonction définie surà valeurs réelles qui, à tout réelp de N ]0 ; 1[associeb n (p) =E(Y n )-p( .b n représente le biais deY n pour estimerp) q/p n n æ p ö y a) Montrer queb n (p) = ò dy. ç ÷ 2 q(1+y) è ø 0 b) En déduire que la suite(b n (p) ) nÎ * limest convergente et préciser sa limite. CalculerE(Y n ) .c) À N n® + ¥ pq æ 1 l'aide d'une intégration par parties, montrer l'égalité :b n (p) =+o ç . nèn Partie V . Limite de la variance deY n . Le contexte de cette partie est identique à celui de la partie IV. * 1. a)IV.2.b , montrer que, pour tout entierEn utilisant la formule établie dans la questionn, de N 3/5

n t h n (t) lorsquet tend vers 0 par valeurs supérieures. ∼ n q ( ) h t n b)En déduire que pour tout réelq de]0 ; 1[ , l'intégraledtconvergente et que est ò t 0 q ( ) h t n j n (q) =dt . ò t 0 t/(1-t) n * y 2. a)Pour tout entiern de, et pour tout réelt de ]0 ; 1[ , on poseH n (t) =dy . ò (1+y) N 2 0 æ ( ) n-1 1t n Montrer que, pour toutt de]0 ; 1[ , on aj' n (t) =ç + n-1 n(1-t)t è q ( ) n b)Établir l'existence de l'intégraledtet en déduire l'égalité , ò t 0 q q æ H(t) n-1 1t n ç j n (q) =dt+dt . nç ò (1-t) ò t n-1 è 0 0 q q n H(t)h(q)H(t) n n+1 æ p ö n 3. a)0Établir l'encadrement suivant :£dt£limEn déduire .n dt= 0 ò t n +1 n® + ¥ q ò t ç ÷ è ø 0 0 q/p q n-1 n n æ t ö q2y b)Montrer, pour tout réelq]0 ; 1[ , l'égalité dedt= + ò dy ç ÷ ò øè -p n+y n-2 3 1t n(1 ) 0 0 q n n-1 æ p ö æ t ö 2 En déduire quelimn dt=p ò ç ÷ ç ÷ n® + ¥ q è 1-t ø è ø 0 c)On désigne parV(Y n ) lavariance deY n lim. CalculerV(Y n ) . n® + ¥ Partie VI . Un intervalle de confiance du paramètrep Dans cette partie, le contexte est identique à celui des deux parties précédentes. 1. a)IV.3.c , montrer que, lorsque En utilisant le résultat de la questionntend vers+¥ : 2 2 2 2p q æ 1 (E(Y n )) =p++o ç . nèn 2 2 2 3p q æ 1 b)On admet que, lorsquen tend vers+¥:E(Y n ) =p ++o ç nèn 2 p q Établir que, lorsquen+ tend vers¥ ,V(Y n ) . ∼ n Y-p n * 2. Pour tout entiern, on pose deT n = . N p q 2 n

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On admet que la suite de variables aléatoires(T n ) nÎ * converge en loi vers une variable aléatoireT qui suit N la loi normale centrée, réduite. Cette question a pour objectif la détermination, pourn assez grand, d'un intervalle de confiance du paramètre inconnup, au risquea donné. Autrement dit, il s'agit de trouver des variables aléatoiresI n etJ n , fonctions deY n telles queP(I n £p£J n )= 1-a. a a)Soita a  , le réel strictement positif tel queP(T³a a )= .Pourn assez grand, on peut considérer que : 2 P(-a a £T n £a a )= 1-a . æ q q En déduire l'égalité :P Y-a p £p£ Y+a p= 1-a . ç nana è n n b)Montrer que l'on peut choisir les « statistiques »I n etJ n de la façon suivante : 2a 2a 1 a 1 a I n =J n = + . Y- et Y n n 3 3n 3 3n c)On suppose quen= 900 . Un échantillon observéx 1 ;x 2 ; .... ;x 900  de réalisations des variables aléatoires 900 1 900 S X 1 ;X 2 ; .... ;X 900  afourni le résultat suivant :x 900 =x i = 4. i=1 Calculer la réalisationy 900  dela variable aléatoireY 900  . On se donne un niveau de risquea = 0,05; le nombrea 0,05 est à peu près égal à2 . 2 Sachant que», trouver un intervalle de confiance 0,026réalisé qui contienne le paramètre 45 3 inconnup0,95 . avec un niveau de confiance au moins égal à

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