Polytechnique X deuxieme composition de mathematiques 2006 mp

Description

6ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈREMPCONCOURSD’ADMISSION 2006DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES(Durée : 4 heures)L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.???Matrices réelles de partie symétrique positivenDans tout le problème, l’espace vectorielR sera muni du produit scalaire usuel noté (.|.) etde la norme ...

Informations

• Publié par: shura
• Nombre de lectures: 249
• Langue: Français

Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D’ADMISSION 2006

MP FILIÈRE

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. ? ? ?

Matrices réelles de partie symétrique positive

n Dans tout le problème, l’espace vectorielRsera muni du produit scalaire usuel noté(.|.)et de la norme correspondantek.k. On noteraM n (R)l’espace vectoriel des matrices ànlignes et ncolonnes, à coefficients réels, etIla matrice identité; on muniraM n (R)de la norme usuelle : ® ´ kAxk kAk= sup, x6= 0. kxk n Une matriceAdeM n (R)sera ditespositivesi l’on a(Ax|x)>0pour toutxdeR.

Première partie

1.Montrer que toute matriceAdeM n (R)s’écrit de façon unique comme somme d’une matrice symétriqueA s et d’une matrice antisymétriqueA a .

2.SoitAune matrice deM n (R). Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur les valeurs propres deA s , pour queAsoitspositive.

Deuxième partie

3.Montrer que, pour toute matricespositiveAet tout nombre réelλ >0, la matriceλI+A est inversible.

−1 On posera alorsR λ (A) = (λI+A).

4.(Étude d’exemples) On examinera les deux exemples suivants : Ç å 0 1 a)n= 2, A=. −1 0

1