Soit an n N la suite réelle définie par

Description

Niveau: Supérieur, Bac+5
Introduction Soit (an)n?N? la suite réelle définie par : an = 1 n ? ∫ n+1 n dt t . On étudie la série de terme général an. On montre qu'elle est convergente et on donne dif- férentes représentations de sa somme, notée ?, et appelée Constante d'Euler. Pour cela on commence par étudier la suite (Sn)n?N? définie par : Sn = n∑ p=1 ap = n∑ p=1 1 p ? ∫ n+1 1 dt t = n∑ p=1 1 p ? ln(n+ 1). On s'intéresse également à la suite (Hn)n?N définie par H0 = 0 et pour tout entier n > 1, Hn = n∑ p=1 1 p . PARTIE I : Première approche de la constante d'Euler 1) Soit p ? N?. En encadrant l'intégrale ∫ p+1 p dt t , montrer que 0 6 ap 6 1 p ? 1 p+ 1 . 2) En déduire que la suite (Sn)n?N? est majorée, puis qu'elle est convergente et que sa limite ? appartient à l'intervalle [0, 1] . 3) Vérifier que pour tout p ? N? on a : ap = 1 p ∫ 1 0 t t+ p dt, puis montrer que pour tout entier p > 2 on a : 1 2 ( 1 p ? 1 p

• indices impairs dans l'expression de vp


• lnn? e?n


• convergence de l'intégrale ∫


• série de vacca


• méthode permettant le calcul


• e?at ?


• vp

Informations

• Publié par: profil-meshug-2012
• Nombre de lectures: 36
• Langue: Français

Extrait

Introduction

Soit(a n ) ∗ la suite rÉelle dÉfinie par : n∈N Z n+1 1 dt a n =−. n t n On Étudie la sÉrie de terme gÉnÉrala n .On montre qu’elle est convergente et on donne dif- fÉrentes reprÉsentations de sa somme, notÉeγ, et appelÉeConstante d’Euler. Pour cela on commence par Étudier la suite(S n ) n∈N dÉfinie par : ∗ n n Z n X X X n+1 1 dt1 S n =a p =−=−ln(n+ 1). p t p 1 p=1p=1p=1

On s’intÉresse Également À la suite(H n )dÉfinie parH 0 = 0et pour tout entiern>1, n∈N n X 1 H n =. p p=1

PARTIE I:PremiÈre approche de la constante d’Euler Z p+1 dt ∗ 1)Soitp∈N. En encadrant l’intÉgrale,montrer que t p 1 1 06a p 6−. p p+ 1

2)En dÉduire que la suite(S n ) ∗ est majorÉe, puis qu’elle est convergente et que sa limiteγ n∈N appartient À l’intervalle[0,1]. ∗ 3)VÉrifier que pour toutp∈Non a : Z 1 1t a p = dt, p t+p 0 puis montrer que pour tout entierp>2on a :     1 1 1 1 1 1 −6a p 6−. 2p p+ 1 2p−1p

4)En dÉduire un encadrement deS m −S n pourmetndes entiers vÉrifiantm > n>1.Puis montrer que pour tout entiern>1on a : 1 1 6γ−S n 6. 2n+ 2 2n

5)Conclure qu’on a le dÉveloppement asymptotique suivant pour la suite(H n ) ∗ : n∈N   1 1 H n = lnn+γ+ +o . n→∞ 2n n

1 ∗ 6)Pour toutn∈Non poseT n =S n +. Montrer que 2n+ 2 1 06γ−T n 6. 2n(n+ 1)

∗ −2 7)DÉterminer un entiern∈Npour lequelT n est une valeur approchÉe deγÀ10prÈs. −2 Donner alors un encadrement deγÀ10prÈs.

1

PARTIE II

:Deux reprÉsentations intÉgrales de la constante d’Euler

SoitIun intervalle non vide deR,bornÉ ou non et soitf:I−→Rune fonction continue par morceaux. On dira quefestintÉgrablesurIsi l’intÉgrale impropre defsurIest absolument convergente. On admettra le rÉsultat suivant :SoitInon vide deun intervalle R,bornÉ ou non et soit P u n une sÉrie de fonctions rÉelles positives, dÉfinies, continues par morceaux et intÉgrables P sur l’intervalleI.Si la sÉrie de fonctionsu n converge simplement surIvers une fonction +∞ P R P continue par morceaux et si la sÉrie numÉriqueu n converge, alors, la fonction sommeu n I n=0 est intÉgrable surIet on a :  ! Z +∞+∞ Z X X u n =u n I I n=0n=0 1)Dans cette question, on se propose de dÉmontrer la convergence de l’intÉgrale : Z   +∞ 1 1 −t e−dt. −t 1−et 0

a)Montrer que les deux intÉgrales suivantes sont convergentes: Z Z +∞ − t +∞ − t e e dtetdt. −t 1−et 1 1

1 1 + b)DÉterminer la limite de−quandt→0. −t 1−et c)Conclure. 2)Dans cette question on se propose de dÉmontrer que siaetbsont deux rÉels strictement −at−bt e−e positifs, alors la fonctiont7→est intÉgrable sur]0,+∞[et que t Z +∞ − at−bt e−eb dt= ln. t a 0

Soientxetydeux rÉels strictement positifs. a)DÉmontrer que : Z Z Z y −at− bt bx − t by −t e−ee e dt= dt−dt. t t t x ax ay b)Montrer que poura6bon a pour tout rÉelz >0: Z bz −t beb −bz−az eln6dt6eln a t a az

c)Montrer que Z +∞ − at−bt e−eb dt= ln. t a 0 3) Une premiÈre reprÉsentation intÉgrale de la constante d’Euler.

a)DÉmontrer que pour pour tout rÉelt >0on a :  ! +∞+∞ −nt−(n+1)t X X 1 1 e−e −nt = eet=. −t 1−et t n=0n=0

2

b)En dÉduire que pour pour tout rÉelt >0on a :  !   +∞ X −(n+1)t−(n+2)t 1 1 e−e −t−(n+1)t e−= e−. −t 1−et t n=0

c)DÉmontrer que pour tout rÉelt >0,on a :

−t 1−e 1−>0. t Z   +∞ 1 1 −t d)Retrouver alors la convergence de l’intÉgralee−dtet dÉmontrer −t 1−et 0 l’ÉgalitÉ : Z   +∞ 1 1 −t γ= e−dt. −t 1−et 0 4) Une deuxiÈme reprÉsentation intÉgrale de la constante d’Euler.

Soityun rÉel strictement positif. Z +∞ − t e a)Calculerdt,puis dÉduire que −t 1−e y  Z  +∞ − t e lim lny+ dt= 0. + −t y→0 1−e y

b)DÉmontrer que: Z Z   Z +∞ −t y+∞ − t e 1 1 e −t γ+ dt= e−dt+ dt. −t−t t1−et1−e y0y

c)En dÉduire que :

 Z  +∞ − t e limγ+ lny+ dt= 0. y→0 t + y −t d)DÉmontrer que la fonctiont7→e lntest intÉgrable sur]0,+∞[et que : Z  Z  +∞+∞ − t e −t−y e lntdte ln= lim y+ dt . y→0 t + 0y

e)Conclure alors que :

PARTIE III

:

Z +∞ −t γ=−e lntdt. 0

Pour une valeur approchÉe de la constante d’Euler

1) a)DÉmontrer l’ÉgalitÉ suivante : Z   Z 1 −t +∞ − t 1 e e −dt= dt. −t−t t1−e 1−e 0 1

(Indication:on pourra calculer chacune des deux intÉgrales).

3

b)En utilisant l’ÉgalitÉ obtenue en II.3)d), dÉmontrer que : Z Z 1 −t +∞ − t 1−e e γ= dt−dt. t t 0 1

+∞ X H k k 2)SoitFla fonction dÉfinie parF(x) =x . k! k=0 k X 1 (On rappelle queH 0 = 0et pourk>1, H k =. ) p p=1

a)Montrer queFest dÉfinie et dÉrivable surR. b)DÉmontrer que pour tout rÉelx >0on a : 1 0x F(x)−F(x) = (e−1). x c)Montrer alors que pour tout rÉelx >0on a : Z x −t 1−e x F(xd) = e t. t 0 3)DÉduire des questions prÉcÉdentes que pour tout rÉelx >0on a : Z +∞ − t e −x γ+ lnx= eF(x)−dt. t x

4)Soit un entiern>1et soit un entiera>2. Montrer que : +∞+∞   √ an+1   k X X an H k k n1a ne n6 6 √ . k! (an)!a a−1 2πa a k=an+1k=0   √ n n (Indication:on pourra admettre et utiliser l’inÉgalitÉ :n!>2πnpour toutn∈N. e )

5)En dÉduire que pour tout entiern>1on a : an √ −n   −n X an H k aene e −n k γ+ lnn−en6 √ +.   k!a−1 2nπa a k=0

−10 6)DÉcrire une mÉthode permettant le calcul d’une valeur approchÉe deγÀ10prÈs. (On ne demande pas le calcul d’une telle valeur approchÉe.)

PARTIE IV:La constante d’Euler somme de la sÉrie de Vacca (1910)

Pour tout entierp>0,on pose :   p+1 2−1 X k (−1)   v p =p . k p k=2

1) a)En sÉparant les termes d’indices pairs et ceux d’indices impairs dans l’expression dev p , montrer que pour tout entierp>1on a :

v p =p(σ p−1 −σ p )

4

oÙ

p+1 2−1 X 1 σ p =. h p h=2

b)En dÉduire que pour tout entiern>1on a :

n n−1 X X v p =σ p −nσ n . p=1p=0

c)Montrerque pour tout entiern>1on a :

n−1 X 1 σ p =H 2 −. n n 2 p=0 d)En utilisant le dÉveloppement asymptotique deH n ,obtenu enI. 5), conclure que la sÉrie de terme gÉnÉralv p est convergente et qu’on a :

+∞ X v p =γ. p=1

∗ 2)On pose, pour toutn∈N, blognc n 2 u n = (−1) n oÙlogdÉsigne la fonction logarithme en base2etbxcdÉsigne la partie entiÈre du rÉelx. 2

a)Expliquer pourquoi le critÈre spÉcial des sÉries alternÉes ne permet pas de montrer la convergence de la sÉrie de terme gÉnÉralu n . n+1n+2 b)Soitnun entier naturel et soitmun entier tel que :26m <2. Montrer que

m X k (−1) 1 6, n  k  2 n+1 k=2

puis en dÉduire que : m X n+ 1 u k 6. n  2 n+1 k=2 n+1n+2 c)Soitnun entier naturel et soitmun entier tel que :26m <2. Montrer que

  m n X X n u k =v p +O n 2 k=1 p=0 et en dÉduire que la sÉrie de terme gÉnÉralu n converge et que l’on a :

3)On pose pour tout entier natureln:

+∞ X u n =γ. n=1

+∞ k X (−1) r n =. k n k=2

a)Montrer que la sÉrie de terme gÉnÉralr n est absolument convergente.

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b)Exprimerv k en fonction dek, r k etr k+1 .Montrer ensuite que n n X X v k =r k −nr n+1 . k=1k=1 Conclure que :    ! +∞+∞+∞+∞ X X X X k j (−1) (−1)   γ= = n k2 +j n n=1 k=2 n=1 j=0

PARTIE V:La formule de Gosper (1972)

Dans cette partie on dÉsigne parFleR-espace vectoriel x= (x k )est un ÉlÉment deF,on notera aussix[k]le k∈N l’endomorphismeΔdeFdÉfini par :

des suites rÉelles indexÉes termex k de la suitex.On

∀x∈ F,∀k∈N,Δ (x) [k] =x[k]−x[k+ 1].

parN.Si considÈre

∗n Pourn∈N,on noteΔl’endomorphisme deFobtenu en composantΔavec lui mmenfois 0 et on poseΔ = Id F .   n Pour tout entiern∈Net pour tout entierp∈[0, n]le coefficient binÔmial :, dÉsigne p   n n! = p p!(n−p)! 1)DÉmontrer que pour toutn∈N, pour toutx∈ Fet pour toutk∈Non a : n   X n n p Δ (x) [k] = (−1)x p+k . p p=0

(Indication:ÉcrireΔ = Id F −ToÙTest l’endomorphisme deFdÉfini, pour toutx∈ Fet pour toutk∈N, par :T(x)[k] =x[k+ 1].)

2)Soit(u p )une suite rÉelle convergente et de limite`. On se propose de montrer que : p∈N n   X 1n limu p =`. n n→∞ 2p p=0    ! n p a)Soitp∈N. Montrer que la suite converge vers0. n 2 n>p b)On suppose dans cette question`= 0. Montrer que n   X 1n limu p = 0. n n→∞ 2p p=0 (Indication :On pourra utiliser l’ÉgalitÉ suivante : n   k   n   X X X 1n1n1n u p =u p +u p n n n 2p2p2p p=0p=0 p=k+1 et, Étant donnÉe un rÉelε >0,choisir un entierksuffisamment grand pour que l’on ait n   X 1n ε u p <.) n 2p2  p=k+1

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c)Conclure pour le cas gÉnÉral oÙ`est quelconque.

3)Dans cette question, on se propose de dÉmontrer la propriÉtÉ suivante : Soitx= (x k )∈ F. k∈N n P Δ (x) [0] k Si la sÉrie(−1)x k converge et on a :converge, alors, la sÉrie de terme gÉnÉral n+1 2 +∞+∞ X X n Δ (x) [0] k (−1)x k =. n+1 2 k=0 n=0

On pose, pour toutN∈N:

N X k U N = (−1)x k k=0

et

N n X Δ (x) [0] V N =. n+1 2 n=0

a)DÉmontrer que N   X 1N+ 1 V N =U q . N+1 2q+ 1 q=0 k (on pourra observer que pour toutk∈N,(−1)x k =U k −U k−1 ,avec, par convention, U −1 = 0).

n Δ (x) [0] b)En dÉduire que la sÉrie de terme gÉnÉral converge et que : n+1 2 +∞+∞ n X X Δ (x) [0] k = (−1)x k . n+1 2 n=0 k=0

4)On considÈre dans cette question un entiern>1ainsi que la suitex= (x j )dÉfinie par : j∈N

1 x j =. n 2 +j

a)Montrer que pour tout entierm>0on a :

1 1 m Δ (x=) [0]  n  . n 2 +m 2 m

Indication:On pourra admettre et utiliser le rÉsultat suivant : Pourm, n∈Non a Z 1 m!n! n m x(1−x)dx= (m+n+ 1)! 0

b)En dÉduire que : +∞+∞ X X 1 1 γ=  n  . m+n +1 2 +m 2 n=1m=0 m c)Conclure que la constante d’Euler peut s’Écrire :

+∞ p−1 X X 1 1 1 γ= +.  p−k  p+1 2 +k 2 2 p=2 k=1 k

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