Sujet du bac S 2006: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

probabilités, nombres complexe, étude de fonction, étude de suite
Sujet du bac 2006, Terminale S, Amérique du Nord

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 67
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2006\

E X E R C IC E points1 3 Commun à tous les candidats Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte1point ; une réponse inexacte enlève0,5point ; l’absence de réponse est comptée0point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes : 4 sont marqués « oui », 3 sont marqués « non » et 3 sont marqués « blanc ».

Lors d’un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d’euro. Il tire en suite un bulletin de l’urne et l’y remet après l’avoir lu. Si le bulletin tiré est marqué « oui», le joueur reçoit 60 centimes d’euro, s’il est marqué « non », il ne reçoit rien. Si le bulletin tiré est marqué « blanc », il reçoit 20 centimes d’euro. Question 1Le jeu est : A : favorable au joueurB : défavorable au joueurC : équitable Question 2Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres. La probabilité qu’il tire au moins une fois un bulletin marqué « oui » est égale à 216 544 2 A :B :C : 625 625 5 Lors d’un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne. Question 3: la probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est égale à : 4 1111 A :B :C : 15 30 15

E X E R C IC E points2 5 ³ ´ −→−→ Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct O,u,v(unité graphique 2 cm), on considère les points A, B et C d’affixes respectivesz A =2, z B =1+i 3etz C =1−i 3. Partie A

1. a.Donner la forme exponentielle dez B puis dez C . b.Placer les points A, B et C. 2.Déterminer la nature du quadrilatère OBAC. 3.Déterminer et construire l’ensembleDdes pointsMdu plan tels que |z| = |z−2|.

Partie B ′ ′ À tout pointMd’affixeztel quez6=z A , on associe le pointMd’affixezdéfini par −4 ′ z=. z−2

Baccalauréat S

−4 1. a.Résoudre dansCl’équationz=. z−2 b.En déduire les points associés aux points B et C. ′ c.Déterminer et placer le point Gassocié au centre de gravité G du triangle OAB. 2. a.Question de cours : Prérequis : le module d’un nombre complexe z quelconque, noté|z|, vérifie 2 |z| =z zoù z est le conjugué de z. Démontrer que : •pour tous nombres complexesz 1 etz 2 ,|z 1 ×z 2 | = |z 1 | × |z 2 |. 1 1 •pour tout nombre complexeznon nul,=. ¯ ¯ z|z| b.Démontrer que pour tout nombre complexezdistinct de 2, 2|z| ′ ¯ ¯ z−2=. |z−2| c.On suppose dans cette question queMest un point quelconque deD, oùDest l’ensemble défini à la question 3. de la partie A. ′ Démontrer que le pointMassocié àMappartient à un cercleΓdont on précisera le centre et le rayon. TracerΓ.

E X E R C IC E 2 5points Exercice de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormal directO,u,v(unité graphique : 4 cm). SoitΩle point d’affixe 2. π On appellerla rotation de centreΩet d’angleethl’homothétie de centreΩet de 4 2 rapport . 2 1.On poseσ=h◦r. a.Quelle est la nature de la transformationσ? Préciser ses éléments carac téristiques. 1+i b.Montrer que l’écriture complexe deσest :z7−→z+1−i. 2 ′ c.SoitMun point quelconque du plan d’affixez. On désigne parMson ¡ ¢ ′ ′′ ′ image parσet on notezl’affixe deM. Montrer quez−z=i 2−z. 2. a.Question de cours •Prérequis : définitions géométriques du module d’un nombre complexe et d’un argument d’un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques des modules et des arguments. Démontrer que : siAest un point donné d’affixea, alors l’image du point π Pd’affixeppar la rotation de centreAest le pointet d’angleQd’affixe 2 qtelle queq−a=i(p−a). ′ b.Déduire des questions précédentes la nature du triangleΩM M, pourM distinct deΩ. 3.Soit A 0 le point d’affixe 2+i. On considère la suite (A n ) de points du plan définis par : pour tout entier natureln,A n+1 =σ ( A n ) . a.Montrer que, pour tout entier natureln, l’affixea n deA n est donnée par : Ã ! n 2 (n+2)π i 4 a n =e+2. 2

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Baccalauréat S

b.Déterminer l’affixe deA 5 . 4.Déterminer le plus petit entiern 0 tel que l’on ait : pourn > n 0 , le pointA n est dans le disque de centreΩet de rayon 0,01.

E X E R C IC E 3 5points 1.On considère la fonctiongdéfinie sur ]0 ;+∞[ par 2 g(x)=lnx− x On donne cidessous le tableau de variations deg. x30 2,x 0 2, 4+∞ +∞ g(x) 0 −∞ Démontrer toutes les propriétés de la fonctiongregroupées dans ce tableau. 2.Soitfla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par 5 lnx f(x)= x 10 a.Montrer quef ( x 0 ) =oùx 0 est le réel apparaissant dans le tableau 2 x 0 cidessus. Z a b.Soitaun réel. Poura>1, exprimerf(t) dten fonction dea. 1 ³ ´ −→−→ 3.On a tracé dans le repère orthonormalO,ı,cidessous les courbes re ¡ ¢ ¡ ¢ présentatives des fonctionsfetgnotées respectivementC f etC g . ¡ ¢ On appelle I le point de coordonnées (1 ; 0),P 0 le point d’intersection deC g ¡ ¢ et de l’axe des abscisses,M 0 le point deC f ayant même abscisse queP 0 et H 0 le projeté orthogonal deM 0 sur l’axe des ordonnées. ¡ ¢ On nomme (D 1 ) le domaine du plan délimité par la courbeC f et les seg ments [IP 0 ] et [P 0 M 0 ]. On nomme (D 2 ) le domaine du plan délimité par le rectangle construit à partir de [OI] et [OH 0 ]. Démontrer que les deux domaines (D 1 ) et (D 2 ) ont même aire, puis donner un encadrement d’amplitude 0,2 de cette aire.

H 0

−→ 

−→ O I ı

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M 0

P 0

3

¡ ¢ C f

¡ ¢ C g

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Baccalauréat S

E X E R C IC E points4 7 ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormalO,ı,. On s’intéresse aux fonctionsfdérivables sur [0 ;+∞[ vérifiant les conditions ½ £ ¤ 2 ′ (1) : pourtout réelxappartenant à[0 ;+∞[,f(x)=4−f(x) (2) :f(0)=0

On admet qu’il existe une unique fonctionfvérifiant simultanément (1) et (2). Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante. L’annexe sera com plétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve. Partie A. Étude d’une suite Afin d’obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonctionfon utilise la méthode itérative d’Euler avec un pas égal à 0,2. On obtient ainsi une suite de points notés (M n ), d’abscissex n et d’ordonnéey n telles que :

½ x 0 =pour tout entier naturel0 etn,x n+1 =x n +0, 2 2 y 0 =0 etpou eln,y n+1 = −0, 2y r tout entier natur n +y n +0, 8 1. a.Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau de l’annexe. −4 Compléter ce tableau. On donnera les résultats à 10près. b.Placer, sur le graphique donné en annexe, les pointsM n pournentier naturel inférieur ou égal à 7. c.D’après ce graphique, que peuton conjecturer sur le sens de variation ¡ ¢ de la suitey n et sur sa convergence ? 2 2. a.Pourxréel, on posep(x)= −0, 2x+x+Montrer que si0, 8.x∈[0 ; 2] alorsp(x)∈[0 ; 2]. b.Montrer que pour tout entier natureln, 0 6 y n 6 2. ¡ ¢ c.Étudier le sens de variation de la suitey n . ¡ ¢ d.La suitey n estelle convergente ?

Partie B. Étude d’une fonction µ ¶ 4x e−1 ¡ ¢ Soitgla fonction définie sur [0 ;+∞[ parg(x)=2 etC g sa courbe repré 4x e+1 sentative. 1.Montrer que la fonctiongvérifie les conditions (1) et (2). ¡ ¢ 2. a.Montrer queC g admet une asymptoteΔdont on donnera une équa tion. b.Étudier les variations degsur [0 ;+∞[. ¡ ¢ 3.Déterminer l’abscisseαdu point d’intersection deΔet de la tangente àC g à l’origine. ¡ ¢ 4.Tracer, dans le repère de l’annexe, la courbeC g et les éléments mis en évi dence dans les questions précédentes de cette partie B.

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Cette page sera complétée et remise avec la copie avant la fin de l’épreuve Exercice 4 : Annexe Partie A

n0 12 34 5 6 7 x n 0 0,42 0, y n 0 1,4720 0,8000

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