Sujet par thèmes : Sujets d'analyse

Frattini

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• Publié par: classe-de-terminale-es
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 34
• Langue: Français
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Extrait

Exercice1
PartieA
Soit f lafonctiondéfinie,surR,par:
x10e
f(x)= .
xe +4
Onappelle(C)sacourbereprésentativedansleplanmunid’unrepèreorthonormal? ?→− →−
O, ı ,  (unitégraphique:1cm).
1. a. Déterminerlalimitede f en−∞.
40
Enécrivant f(x)=10− ,déterminerlalimitede f en+∞.
xe +4
Endéduireleséquationsdesasymptotesà(C).
′ ′b. Calculer f (x),où f estladérivéede f.
c. Étudierlesvariationsde f.
d. Dressersontableaudevariations.
2. Détermineruneéquationdelatangente(D),à(C)aupointd’abscisseln4.
3. Tracersurunmêmegraphique,lacourbe(C),sesasymptotesetladroite(D).
PartieB
UneentreprisefabriqueuncertainproduitP.Onappelle x lenombredetonnes
dePfabriquées.
OnnoteC(x)leurcoûttotaldefabrication,expriméenmilliersd’euro.
′Lafonctioncoûtmarginal,C ,estladérivéedelafonctionC.
′Pourtoutx∈[0;+∞[,ona:C (x)= f(x),où f estlafonctionétudiéedanslapartie
A.Deplus,onsupposequ’iln’yapasdechargesfixes,doncqueC(0)=0.
1. a. Montrerquelecoûttotalestdonnépar:
Zx
C(x)= f(t)dt.
0
b. ExprimerC(x)enfonctiondex.
c. Quelestlecoûttotal de5tonnes
deceproduitP?Onendonneralavaleurexacte,puislavaleurarrondieàladizained’europrès.
2. On appelle C (x) le coût moyen défini, pour tout x strictement positif, par :M
C(x)
C (x)= .M
x
a. ExprimerC (x)enfonctiondex.M
−x10ln 1+4e 10ln5( )
b. Vérifierque,pourtoutx>0, C (x)=10+ − .M
x x
c. EndéduirelalimitedeC (x)en+∞.M
Exercice2
Surlegraphiqueci-dessous,onatracé:
• lacourbeC représentant unefonction f définieetdérivablesurl’intervallef
]0;−∞[;
• deuxtangentes àcette courbe: celleaupoint A d’abscisse1 etcelle aupoint
Bd’abscissee.
LacourbeC passeparlespointsA(1; −1),B(e;0)etC(4;
f(4)).f
LatangenteenAestparallèleàl’axedesabscisses.
LatangenteenBpasseparlepointEtelqueBD=DE,oùDestlepointdecoordonnées(4;0)etEapourabscisse4.
12
C
E
1
e D0
0 1 2 3 4 5
-1
A
-2
Lenombreeestlabasedeslogarithmesnépériens.
1. Parlecturegraphique,répondreauxquestionssuivantes:
′ ′a. Sansjustifier,donner f (1)et f (e).
b. Sans justifier, donner les solutions dans ]0; 4[ de l’inéquation f(x)<0,
′puiscellesde: f (x)<0.
c. SoitA, en unités d’aire, une estimation de l’aire de la région colorée,
région comprise entre l’axe des abscisses, la courbeC et les droitesf
d’équations x=1etx
=e.
Parmilestroisnombressuivants:2,9;1,1;0,6lequelestlameilleurevaleurapprochéedeA ?Justifierlaréponse.
2. Onsupposequelafonction f précédenteestdéfiniesur]0 ; +∞[par:
f(x)=xln(x)−x.
′ ′a. Calculer f (x).Endéduirelesvariationsde f etlesvaleursde f (1)etde
′f (e);onnedéterminerapaslalimiteen+∞.
b. MontrerquelafonctionF définiesur]0;4]par:
? ?2x 3
F(x)= lnx−
2 2
estuneprimitivede f sur]0;4].
Exercice3
LapartieCestindépendantedespartiesAetB.
PartieA
Soith lafonctionpolynômeduseconddegrédéfiniesur[0;1]par
2h(x)=(e−1)x −2(e−1)x+1,
laconstanteedésignantlabasedeslogarithmesnépériens(e≈2,718).
1. Montrerqueh eststrictementdécroissantesur[0;1].
2. Justifier le fait que h s’annule une fois et une seule entre 0 et 1. On noteα le
nombreréelquivérifieh(α)=0.
23. En utilisant les résultats des questions précédentes, préciser le signe de h(x)
sur[0;1].
PartieB
Soit f lafonctiondéfiniesur[0;1]par
? ?2f(x)=ln (e−1)x +1
etC sacourbereprésentativedansunrepèreorthonormal(unitégraphique10cm).f
1. Calculer f(0)et f(1).
2. Étudierlesvariationsde f sur[0;1].
3. OnveutpréciserlapositiondeC parrapportàladroiteDd’équation y=x.f
Pour cela, on étudie les variations dela fonction définie sur [0; 1] par d(x)=
x−f(x).
h(x)′a. Montrerqued (x)=
oùhestlafonctionétudiéedanslapar2(e−1)x +1
tieA.
b. Étudierlesensdevariationded sur[0;1].
c. Calculerd(0)etd(1).
d. Déduiredecequiprécèdelesigneded(x)sur[0;1].
PréciserlapositiondeC parrapportàladroiteD.f
PartieC
Sur le graphique ci-dessous sont représentées la droited’équation y=x, la courbe
C représentative de la fonction f étudiée dans la partieB et la courbeC repré-f g
sentatived’unenouvellefonction g.
1
1
0,8
0,6
Cf
C0,4 g
0,2
0
0 1O 0,2 0,4 0,6 0,8 1
3Les courbes représentant f et g illustrent ici respectivement la répartition des
salairesdansdeuxentreprisesAetB.
En abscisses, x représente le pourcentage cumulé (sous forme décimale) des
personnes ayant les salaires les plus faibles par rapport à l’effectif total de chaque
entreprise; par exemple si l’on veut considérer les 60% les moins bien payés de
l’ensembledessalariésd’uneentreprise,onchoisirax=0,6.
Enordonnées, f(x)(oug(x))représentelepourcentage(sousformedécimale)dela
masse salariale totale affectée aux t% les moins bien payés des salariés de chaque
t
entreprise,avec =x.
100
LescourbesC etC sontdescourbesdeLorenz.f g
1. Déterminer graphiquement (avec la précision permise par le dessin), pour
chaque entreprise, une valeur approchée du pourcentage de la masse
salarialeaffectéeaux60%dessalariéslesmoinsbienpayés.
2. Déterminer graphiquement (avec la précision permise par le dessin),
pour
chaqueentreprise,unevaleurapprochéedupourcentagedessalariéslesmoins
bienpayésdontlamassedessalairesreprésente60%delamassesalarialetotale.
3. Dans quelle entreprise la distribution des salaires est-elle la plus
irrégulièrementrépartie?
Exercice4
Onpeuttraiterlaquestion 4sansavoirtraitélesquestionsprécédentes.
Pourunachatimmobilier,lorsqu’unepersonneemprunteunesommede50000
euros, remboursable par n mensualités chacune égale à A euros, pour un intérêt
mensuelde0,4%,lemontantdecettemensualité A estdonnépar:
200
A=
−n1−(1,004)
(onnedemandepasd’établircetterelation).
1. Calculer lamensualité A
lorsquecettepersonneemprunte50000eurosremboursablespar120mensualitéspourunintérêtmensuelde0,4%.Ondonnera
unevaleurarrondieaucentimed’euro.
Calculeralorslemontanttotaldesintérêtspourceprêt.
2. Mêmesquestionsavecunempruntde50000eurossur8ansà0,4%mensuel.
3. Afin de payer le moins d’intérêts possible, l’emprunteur doit augmenter le
montant de la mensualité et diminuer la période de remboursement. Mais
ilnepeutsupporter aumaximum quedesremboursements de950 eurospar
mois.
a. Résoudredans[0;+∞[l’inéquation
200
6950.
−x1−(1,004)
b. En déduire le nombre entier n minimum demensualités pour lequel le
montantdelamensualité A estinférieurouégalà950euros.
Que vaut alors A arrondi au centime d’euro? Calculer alors le montant
totaldesintérêts.
4. Voicidesextraits dutableaud’amortissement d’unprêtde50000
eurosremboursablepar60mensualitéspourunintérêtde0,4%.
Calculer,endétaillant,lesnombresa, b, c, d ete quifigurentdansletableau.
Ondonneradesvaleursarrondiesaucentimed’euro.
4oN dela Montantdela Partdesintérêtseneuros Capitalamorti Capitalrestant
mensualité mensualitéeneuros pourcettemensualité eneuros àremboursereneuros
1 938,99 200,00 738,99 49261,01
2 938,99 197,04 a b
3 938,99 c d e
4 938,99 191,10 747,89 47026,26
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
59 938,99 7,47 931,52 935,25
60 938,99 3,74 935,25 0
Exercice5
Letableauci-dessousdonneletauxd’équipementenmagnétoscopedescouples
avecenfant(s)d’unecertainerégionfrançaisede1980à2000touslesquatreans.
a −1980i
Danscetableau,x représentel’expression: .i
4
Annéea 1980 1984 1988 1992 1996 2000i
Rangx del’année 0 1 2 3 4 5i
Taux y en% 5 8 24 50 77 88i
Parexemple, 5%descouples avecenfant(s) decetterégionpossède
unmagnétoscopeen1980.
PartieA
Ajustementaffine
Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm pa