Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées Bât M2 F Villeneuve d'Ascq Cedex

Charles Suquet

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Bât. M2, F-59655 Villeneuve d'Ascq Cedex Introduction au Calcul des Probabilités Probabilités à Bac+2 et plus si affinités. . . Charles SUQUET L2 2007–2008

• probabilités conditionnelles


• réel


• introduction au calcul des probabilités


• caractère universel de la loi de poisson


• variables aléatoires


• loi uniforme


• lois gaussiennes

Sujets

• Suquet
• Probabilité conditionnelle
• Variable aléatoire
• Loi uniforme
• bac

Informations

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Extrait

Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
Bât. M2, F-59655 Villeneuve d’Ascq Cedex
Introduction au
Calcul des Probabilités
Probabilités à Bac+2 et plus si affinités...
Charles SUQUET
L2 2007–2008Table des matières
1 Espaces Probabilisés 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 La probabilité comme fonction d’ensembles . . . . . . . . . . . 5
1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Remarques sur le choix d’un modèle . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Conditionnement et indépendance 29
2.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.3 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Indép mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.3 Épreuves répétées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Variables aléatoires discrètes 51
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.1 Variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2 Loi d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . 53
3.2.3 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Lois discrètes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.1 Lois de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de réels . . . . . . . 58
3.3.3 Lois binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.4 Lois hypergéométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.5 Lois géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
i3.3.6 Lois de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.7 Sur le caractère universel de la loi de Poisson . . . . . . 70
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 Vecteurs aléatoires discrets 83
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5 Moments des v. a. discrètes 97
5.1 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Moments d’ordre r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6 Loi des grands nombres 129
6.1 Deux modes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.3 Estimation d’une proportion inconnue . . . . . . . . . . . . . . 132
6.4 Convergence presque sûre des fréquences . . . . . . . . . . . . 134
6.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7 Approximation gaussienne 151
7.1 La courbe en cloche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.2 Étude graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.3 Le théorème de De Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.4 Preuve du théorème de De Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . 162
7.4.1 Évaluation asymptotique de b(k,n,p) . . . . . . . . . . 163
7.4.2 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.5 Vitesse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8 Variables aléatoires réelles 181
8.1 Sortie du cadre discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.2 Notion de variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.3 Variables à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.3.1 Densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.3.2 Moments des variables à densité . . . . . . . . . . . . . 192
ii8.4 Lois à densité classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.4.1 Lois uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.4.2 Lois exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.4.3 Lois gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
A Ensembles et dénombrements 205
A.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
A.2 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
iiiivIntroduction
Issu du cours de Probabilités en DEUG MASS et MIAS, ce document
s’adresse à un public varié. Les étudiants de DEUG pourront y trouver une
rédaction détaillée de toutes les questions abordées en cours. Quelques déve-
loppementsvontau-delàdustrictprogrammeetsontsusceptiblesd’intéresser
deslecteurscurieuxouplusavancés.Lesoutilsmathématiquesutilisésrestent
néanmoins strictement dans le cadre du DEUG.
1Ce premier tome est consacré à ce que l’on appelle les probabilités dis-
crètes. Par rapport aux rudiments de calcul des probabilités enseignés au
lycée, l’innovation est la prise en compte de l’infini. Cette notion s’introduit
très naturellement en calcul des probabilités, par exemple dès qu’il s’agit de
modéliser des temps d’attente. On ne peut pas étudier avec un espace Ω de
cardinal fini une expérience aléatoire aussi simple que : « on lance un dé
jusqu’à la première obtention d’un six ». Nous nous posons donc la question
de la définition et de l’étude des probabilités sur des univers Ω infinis. Il est
possible au niveau du DEUG de faire une théorie assez rigoureuse si l’on
veut bien faire l’impasse sur les problèmes de construction (ou d’existence)
de tels espaces probabilisés infinis capables de modéliser correctement les
expériences aléatoires envisagées.
Le principal outil mathématique utilisé est celui des séries. Il permet
une étude classique assez complète des variables aléatoires discrètes. Cette
étude débouche sur deux grands théorèmes de convergence de la théorie des
probabilités : la loi des grands nombres et la conv vers une loi gaussi-
enne qui sont discutés dans des cas simples dans les deux derniers chapitres.
Nous avons choisi de donner autant que possible des démonstrations de ces
théorèmes dans ces cas particuliers. Ces démonstrations sont instructives en
elles-mêmes et peuvent être considérées comme une introduction au cours
de Licence. Une autre particularité de ce document est la discussion sur les
questions de vitesse de convergence à propos des approximations (par une loi
de Poisson ou par une loi de Gauss). Trop souvent on trouve à ce sujet dans
la littérature des recettes qui, données sans justification, ressemblent plus à
1. Y en aura-t-il un deuxième?
v2de la cuisine qu’à des mathématiques.
Chaque chapitre contient une section d’exercices qui suit autant que pos-
3sible l’ordre d’exposition du cours . Certains sont des applications directes
du cours ou des sujets d’examen ou de D.S., d’autres des approfondisse-
ments. Leur niveau de difficulté n’a volontairement pas été indiqué a priori.
De même, on ne trouvera pas dans cette introduction de plan de lecture
détaillé pour chaque DEUG. De telles indications pourront être données en
cours ou en TD, mais je n’ai pas souhaité cloisonner a priori une curiosité
qui, pour un scientifique, est tout le contraire d’un vilain défaut...
Jeremercietouslescollèguesquim’ontaidédirectementouindirectement
à rédiger ce polycopié et plus particulièrement MauriceChamontin, Sylvie
Roelly et Marie-ClaudeViano avec qui j’ai fait équipe en DEUG MASS et
MIAS. Il va de soi qu’ils ne portent aucune responsabilité pour les quelques
4débordements auxquels j’ai pu me laisser aller ni pour les quelques fautes
5que l’on ne manquera pas de trouver dans cette première édition (septembre
1996)