Baccalauréat ES France septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Baccalauréat ES France septembre 2003 Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats Partie A Soit la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f (x)= x2+4?8lnx. 1. Étudier les limites de f en 0 et en +∞. 2. a. Déterminer la dérivée de f et en déduire le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[. b. Dresser le tableaude variationde f . Endéduire le signede f sur ]0 ; +∞[. 3. a. Montrer que la fonction G défmie sur ]0 ; +∞[ par G(x)= x lnx? x est une primitive de la fonction x ? lnx sur ]0 ; +∞[. b. En déduire la primitive F de f sur ]0 ; +∞[ vérifiant F (1)= 0. Partie B Le cours d'une action cotée en bourse, exprimé en dizaines d'euros, est égal à f (x), où x représente le nombre de mois écoulés à partir du 1er décembre 2001. On a x ? [1 ; 12]. 1. Un investisseur décide d'acheter 2 500 actions de ce type. En quel mois de l'année 2002 est-il le plus judicieux pour lui d'acheter ? Calculer sa dépense arrondie à l'euro.

• courbes ?


• repère de l'espace situé sur la feuille fournie en annexe


• répartition des exploitations


• répartition des surfaces des exploitations agricoles


• points commun

Sujets

• France 5
• France 3
• France 4
• France 2

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2003
• Nombre de lectures: 201
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatESFranceseptembre2003
Exercice1 6points
Communàtouslescandidats
PartieA
Soitlafonction f définiesur]0; +∞[par
2
f(x)=x +4−8lnx.
1. Étudier leslimites de fen0eten+∞.
2. a. Déterminer la dérivée de f et en déduire le sens de variation de f sur
]0; +∞[.
b. Dresserletableaudevariationde f.Endéduirelesignedef sur]0; +∞[.
3. a. MontrerquelafonctionG défmiesur]0; +∞[par
G(x)=xlnx−x
estuneprimitivedelafonction x→lnx sur]0; +∞[.
b. EndéduirelaprimitiveF de f sur]0; +∞[vérifiantF(1)=0.
PartieB
Le cours d’une action cotée en bourse, exprimé en dizaines d’euros, est égal à
erf(x),où x représentelenombredemoisécoulésàpartirdu1 décembre2001. On
ax∈[1; 12].
1. Un investisseur décide d’acheter 2500 actions de ce type. En quel mois de
l’année 2002 est-il le plus judicieux pour lui d’acheter ? Calculer sa dépense
arrondieàl’euro.
2. a. Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [1 ; 11] ; onen donnera
unarrondià0,1.
b. Quelleinterprétationéconomiquepeut-ondonnerdecerésultat?
Exercice2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
−2Danstoutcetexercicelesrésultatsserontarrondisà10 .
Uneétudestatistiqueeffectuéesurunproduitadonnélesrésultatssuivantsoù
xdésigneleprixunitaireeneuros,
y désignelademandeenmilliersd’unités
zdésignel’offreenmilliersd’unités.
x 1,5 2,5 3,5 4,5 5 7 8,5
y 8,4 5,3 3,9 3,1 2,8 2,1 1,7
z 0,75 1,25 1,75 2,25 2,5 3,5 4,25
1. a. Vérifierquelaquantitéofferte z estproportionnelleauprixunitaire x.
b. Onappelle g lafonctionoffreainsidéfiniesur[1;10]par z =g(x).
Représenter g danslerepèreorthonormalR (unitégraphique1cm).
BaccalauréatES
2. a. Représenter,danslerepèreR,lenuagedepointsassociéàlasériestatis-
tique(x ; y).
b. DonneruneéquationdeladroiteDd’ajustement affinede y en x parla
méthodedesmoindrescarrés(aucuncalculn’estexigésurlacopie).
TracerDdanslerepèreR.
c. À l’aide de cet ajustement, calculer le prix unitaire d’équilibre (c’est-à-
direceluipourlequell’offreestégaleàlademande). Vérifiergraphique-
ment.
3. Onseproposededeterminerunautretyped’ajustementpourcettesérie.
a. Recopieretcompléterletableausuivant:
X =lnx 0,41 1,25
Y =lny 2,13
b. Onadmetqu’ilestjustifiédeconsidérerunajustementaffinedeY enX.
Donneruneéquationdeladroited’ajustementaffinedeY en X..
−0,92lnx+2,51c. Endéduirequel’onay =e etcalculerleprixunitaired’équilibre
obtenuaveccenouvelajustement.
Exercice2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Lesquestions2et3sontindépendantes.
Une entreprisefabriquedeux produitsEetFenquantités respectives x et y ex-
priméesentonnes,pourlesquelleslecoûtdeproduction z estdonnépar
2 2z =x +2y −6x−4y+13.
où z estexpriméenmilliersd’eurosavec x∈ [0;7]et y ∈ [0;7].
1. Lasurfacereprésentantcecoûtestdonnéedanslerepèredel’espacesituésur
lafeuillefournieenannexequiserarendueaveclacopie.
a. PlacersurcettesurfacelepointAd’abscisse4etd’ordonnée6.
b. Donner graphiquement un encadrement d’amplitude 10 de la cote du
pointA.
c. Vérifierparlecalcul.
2 22. a. Montrerquel’ona z =(x−3) +2(y−1) +2.
b. Endéduirela productionpour laquelle cecoûtestminimal. Quelestce
coûteneuros?
c. PlacerlepointBcorrespondantàcetteproductionsurlasurface.
3. L’entreprise doit fabriquer une quantité x du produit E et une quantité y du
produitFaveclacontrainte x+y =7.
a. Vérifierque z peuts’écriresouslaformez =g(x)avecx ∈ [0;7]et
2g(x)=3x −30x+83.
b. Déterminerlavaleurde x pourlaquelle g admetunminimum. Quelest
alorslecoûtdeproductioneneuros?
c. PlacerlepointCcorrespondantàcetteproductionsurlasurface.
France 2 septembre2003BaccalauréatES
Problème 9points
Communàtouslescandidats
OnappellecourbedeLorenzlareprésentationgraphiqued’unefonctionL véri-
fiantlesconditionssuivantes
•L estdéfiniesur[0;1];
•L estcroissantesur[0;1];
•L(0)=0etL(1)=1;
• pourtout x de[0;1],L(x)x.
PartieA:lespartiesIetIIsontindépendantes.
LebutdelapartieAestdevérifierquelesfonctions f et g considéréessatisfont
auxconditionsénoncéesci-dessus.
I.Soitlafonction f définiesurl’intervalle[0;1]par
3 1
f(x)= x+ −1.
2 x+1
1. Déterminerladérivéede f etdresserletableaudevariationde f sur[0;1].
2. Déterminerlesignedex−f(x)sur[0;1].
3. Conclure.
II.
1. Soit g lafonctiondéfiniesur[0;1]par
xg(x)=e −(e−2)x−1.
a. Calculer g (x). Endéduirelesensdevariationde g sur[0;1].
b. Calculer g(0)et g(1).
2. Soith lafonctiondéfiniesur[0;1]par
xh(x)=−e +(e−1)x+1.
a. Le tableau suivant donne le signe de la dérivée de h (que l’on ne de-
mandepasdecalculer).
x 0ln(e−1) 1
Signedeh (x) + 0 −
Dresser le tableau de variations de h ; on précisera l’arrondi à 0,1 de
h ln(e−1) .[ ]
b. Vérifierquepourtout x de[0;1],ona: h(x)=x−g(x).
Àl’aidedeII.2.a.,montrerquepourtout x de[0;1],ona: g(x)x.
3. Conclure.
PartieB
Surlegraphiqueci-dessoussonttracéeslescourbesreprésentatives respectives
C etΓdesfonctions f et g etlesegment [OA]oùAestlepointdecoordonnées(1;
1).
France 3 septembre2003BaccalauréatES
A1
→−

C Γ
0,13
0
→−0 1O 0,3 ı
1. On suppose que la courbedeLorenzΓillustre la répartition dessurfaces des
exploitationsagricolesd’unpaysG.
Enabscisse,x représentelepourcentagedunombredesexploitationslesplus
petitesparrapportaunombretotaldesexploitationsdupays.
En ordonnée, g(x) représente le pourcentage total des superficies de ces ex-
ploitations.
−2Par exemple, comme l’arrondi de g(0,3) à 10 est 0,13 on dit que 30% des
exploitations les plus petites représentent au total 13% de la superficie desdupaysG.
Donnerlavaleurarrondieà0,01de g(0,5). Interprétercerésultat.
2. On appelle coefficient de Gini pour le pays G, le nombre 2A oùA est l’aire,
enunités d’aire,dudomaine délimité par lesegment [OA]etla courbeΓ.On
lenote γ .G
a. Exprimer cette aireA à l’aide d’une intégrale. Déterminer la valeur ex-
actedecetteaire.
b. Donnerlavaleurarrondieà0,01deγ .G
3. LareprésentationgraphiqueC de f estlacourbedeLorenzpourunpaysF.
Calculer γ lecoefficientdeGinipourlepaysF.F
Endonnerlavaleurexacte,puislavaleurarrondieà0,01.
4. Plus le coefficient de Gini est petit, plus la répartition des exploitations est
égalitaire.
a. Quelestlepayspourlequellarépartitionestlapluségalitaire?
b. Legraphiquepermettait-ildeprévoircerésultat? Pourquoi?
France 4 septembre2003BaccalauréatES
Annexeàrendreaveclacopie
Enseignementdespécialité
90
80
70
60
50
z
40
30
20
710
6
5
0
4
y0 31
2 2
3
4 1x
5
06
7
France 5 septembre2003