Correction du baccalauréat S Centres étrangers

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Correction du baccalauréat S Centres étrangers 14 juin 2010 Exercice 1 4 points Commun à tous les candidats Question 1 Dans l'espace muni d'un repère orthonormal (O;~ı ;~? ;~k), on considère les droites (D1) et (D2) de représen- tations paramétriques : (D1) ? ? ? x = ?1+2t y = ?3t z = 1+ t (t ?R) et (D2) ? ? ? x = 1?2t y = 5? t z = ?2+ t (t ?R). Affirmation : Les droites (D1) et (D2) sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs ~u1 et ~u2 sont orthogo- naux : ~u1 ? ? ? ? ? ? 2 ?3 1 · ~u2 ? ? ? ? ? ? ?2 ?1 1 = 2??2+ (?3)? (?1)+1?1 = 0 Question 2 Dans l'espace muni d'un repère orthonormal (O;~ı ;~? ;~k), on considère le point A de coordonnées (2 ; ?1 ; 3) et la droite (D) de représentation paramétrique : (D) ? ? ? x = 1+4t y = ?2+2t z = 3?2t (t ?R).

• dimensions de abc aux dimensions de mnp


• côtés proportionnels


• points réservé aux candidats


• b?


• iz z


• calcul de l'affixe b? du point b?


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2010
• Nombre de lectures: 30
• Langue: Français

Extrait

CorrectiondubaccalauréatSCentresétrangers
14juin2010
Exercice1 4points
Communàtouslescandidats
Question1
~Dansl’espace munid’unrepèreorthonormal(O;~ı;~|;k),onconsidèrelesdroites(D et(D )dereprésen-1) 2
tationsparamétriques:
8 8
x ? ?1?2t x ? 1?2t< <
(D ) y ? ?3t (t2 ) et (D ) y ? 5?t (t2 ).1 2: :
z ? 1?t z ? ?2?t
Affirmation:
Lesdroites(D )et(D )sontorthogonalessietseulementsileursvecteursdirecteursu~ etu~ sontorthogo-1 2 1 2
naux: ? ?
? ?2 ?2? ?
? ?u~ ?3 ?u~ ?1 ?2??2?(?3)?(?1)?1?1?01 2? ?
? ?1 1
Question2
~Dansl’espacemunid’unrepèreorthonormal(O;~ı;~|;k),onconsidèrelepointAdecoordonnées(2;?1; 3)
etladroite(D)dereprésentationparamétrique:
8
x ? 1?4t<
(D) y ? ?2?2t (t2 ).
:
z ? 3?2t
Affirmation:
Leplan(P)contenantlepointAetorthogonalàladroite(D)apouréquation:2x?y?z?0,carunvecteur
? ?
? ?2 4? ?
? ?normalauplanest~u 1 ?~v 2 quiestunvecteurdirecteuràladroite(D).? ?
? ??1 ?2
De plus, le point A(2 ; ?1 ; 3) appartient au plan car ses coordonnées vérifient l’équation du plan (P) :
2?2?(?1)?3?0.
Question3
Laduréedevie,exprimée enheures,d’unjeuélectronique,estunevariablealéatoireX quisuitlaloiexpo-
nentielledeparamètre??0,0003. Zt
??xOnrappelleque,pourtout t?0, p(X?t)? ?e dx.
0
Affirmation:
Laprobabilitép pourqueladuréedeviedecejeusoitstrictementsupérieureà2000heuresestsupérieure
à0,5.
Z2000 ? ?2000?0,0003x ?0,0003x ?0,6p?1?p(X?2000)?1? 0,0003e dx?1? ?e ?1?e ?1'0,549?0,5
0
0
1
R
R
RQuestion4
AetBsontdeuxévènementsliésàunemêmeépreuvealéatoirequivérifient:
? ?
p(A)?0,4,p (B)?0,7et p B ?0,1.A A
Affirmation:
14
Laprobabilitédel’évènement Asachantquel’évènement Bestréaliséestégaleà .Eneffet:
41
? ? ? ?
p(A\B)?p (B)?p(A)?0,4?0,7?0,28etp A\B ?p(A)?p B ?0,6?0,1?0,06A A
Deplus:
? ? ? ? ? ?
p A\B ?p A[B ?1?p(A[B)?1?p(A)?p(B)?p(A\B)()p(B)?1?p(A)?p(A\B)?p A\B ?0,82
Ainsi:
0,28 14
p (A)? ?B
0,82 41
Exercice2 5points
Réservéauxcandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Dansleplancomplexe(P)munid’unrepèreorthonormaldirect(O;~u;~v)d’unitégraphique4cm,onconsi-
dèrelepointAd’affixe a??1etl’application f,duplan(P)danslui·même, quiaupointMd’affixe z,distinct
0 0deA,associelepointM ? f(M)d’affixe z telque:
iz0
z ? .
z?1
01. AffixedespointsMtelsqueM ?M:
iz0 2z ?z()z? ()z(z?1)?iz()z ?z(1?i)()z(z?(?1?i))()z?0ouz??1?i
z?1
0Lespointsd’affixes0et?1?ivérifientM ?M?
2. PourtoutpointMdistinctdeAetdeO,ona:
? ?
? ?iz jizj jij.jzj OM0 ? ?OM ? ? ? ?? ?z?1 jz?1j jz?1j AM
? ?? ???! iz!? 0
u, OM ?Arg ?Arg(iz)?Arg(z?1) [2?]
z?1
?Arg(i)?Arg(z)?Arg(z?1) [2?]
? ? ? ? ? ? ? ?? ?! ?! ? ?! ?!!? !? !? !?? ? u, OM ? u, AM ? ? u, OM ? AM, u [2?]
2 2
? ? ? ?? ?! ?! ? ?! ?!
? ? AM, OM ? ? MA, MO [2?]
2 2
1
3. (a) SoitBlepointd’affixeb?? ?i.(Voirfigureenfind’exercice)
2
0 0(b) Calculdel’affixeb dupointB imagedupointBpar f :
? !
1 1i ? ?i ?1? i2 ?2?i (?2?i)(1?2i) ?4 320b ? ? ? ? ? ? i
2 21 1 1?2i 1 ?2 5 5
? ?i?1 ?i
2 2
0B appartientaucercle(C)decentreOetderayon1,car:
s r? ? ? ? ? ?2 2? ??4 3 ?4 3 16?9? ?? i ? ? ? ?1()OM?1()M2C? ?5 5 5 5 25OM 0 0(c) Si M est sur la médiatrice (?), on a OM?AM()1? ?OM . Ainsi M est sur le cercle (C)de
AM
centreOetderayon1.
(d) SoitClepointtelqueletriangleAOCsoitéquilatéraldirect.
? ? ? ???! ?! ?!!? ?0 0LepointC estsurlecercle(C).Ona u, OC ? ? CA, CO [2?].
2
? ? ? ???! ?! ?! ?!?On trace le point C vérifiant u, OC ? CA, CO ? 2? , à l’intersection du cercle (C) et du[ ]1 1
3
cercledecentreIetderayon1.Ontracelaperpendiculaireà(OC )enO.Ellecoupelecercle(C)en1
0C .
4. Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l’ensemble (?) des
0pointsMdistinctsdeAetdeOdontl’imageM par f appartientàl’axedesabscisses.
(a) Onpose z?x?iy avec x et y réelstelsque(x, y)6?(?1, 0)et(x, y)6?(0, 0).
2 2 2 2? ?i(x?iy) ?y?ix (?y?ix)(x?1?iy) ?y?i(x ?y ?x) x ?y ?x0 0z ? ? ? ? ; d’oùIm z ?
2 2 2 2 2 2x?iy?1 (x?1)?iy (x?1) ?y (x?1) ?y (x?1) ?y
0M appartientàl’axedesabscissessietseulement sisapartieimaginaireestnulle,doncsietseule-
mentsi 8 ? ? ? ?2 2? 1 1<2 2 2x ?y ?x?0 x? ?(y?0) ?
() 2 2(x;y)6?(?1;0) :
(x ; y)6?(?1; 0)
? ?
1 1
Ainsi(?)estlecercledecentre ? ;0 etderayon ,privédupoint A(?1; 0).
2 2
(b) Géométriquement (k2 ):
? ???!!?0 0 0M 2(xx )avecM6?AetM6?O() u, OM ?k?
Ainsi:
? ? ? ?8 8? ?! ?! ?! ?! ?
> >? MA, MO ?0?2k? MA, MO ?? ?2k?< < ? ?2 2 ???! ??!
ou () ou () MA, MO ? ?k?()M2C ?{O;A}diamètre [AO]? ? ? ?> > 2? ? ?! ?! ?! ?!: :? MA, MO ???2k? MA, MO ? ?2k?
2 2
(C)B 1
C1C
0 ?B
3
0.5
0C
?
2
?
3 I
OA ?1 ?0.5 0.5 1 1.5 20
?0.5
?1
ZExercice2 5points
Réservéauxcandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Leplan complexe estmuni d’unrepèreorthonormaldirect(O;~u;~v)d’unité graphique 1cm,onconsidère
lespointsA, B, C, M, NetPd’affixesrespectives:
a?1?i, b??1?2i, c?2?3i, m?7?5i, n?5?i, p?9?i.
4
C
B
2
A P
2 4 6 8
N
?2
?4
M
1. (a)
p p p
(b) On calcule les longueurs descôtés AB?jb?aj?j2?ij? 5; AC?j1?2ij? 5; BC?j3?ij? 10
2 2 2doncAB?AC,letriangleABCestisocèleen AetBC ?10;BA ?AC ?5?5?10,donc
2 2 2BC ?BA ?AC letriangleABCestisocèlerectangleen A.p p p
NP?j p?nj?j4?2ij? 20; NM?j2?4ij? 20; MP?j2?6ij? 40 donc NP?NM, le triangle
2 2 2 2 2 2NPM est isocèle en N et MP ? 40; MN ?NP ?20?20?40, donc MP ?MN ?NP le triangle
MNPestisocèlerectangleenN.
(c) Deux triangles isocèles rectangles ont leur côtés proportionnels (ici il faut multiplier par 2, pour
passerdesdimensionsdeABCauxdimensionsdeMNP),donccesdeuxtrianglessontsemblables.
2. Soit s lasimilitude directequitransformelepoint AenNetlepointBenP.
0(a) Onchercheaetb complexes, telsquelaformecomplexedes soit z ?az?b aveca6?0et s esttelle
queelletransformelepoint AenNetlepointBenP.Donc
?
az ? b ?zA N
S: ;donccesystèmeauxinconnues a,b admetuneunique
az ? b ?zB P
?
a(1?i) ? b ?5?i
S:
a(?1?2i) ? b ?9?i
?
b ?5?i?a(1?i)
S:
a(?1?2i) ? 5?i?a(1?i) ?9?i
Ladernièrelignenecomportequel’inconnue a ,onlarésout:
4?2i (4?2i)(?2?i)
a(?2?i)?4?2idonca? donca?
?2?i (?2?i)(?2?i)
1
a? ((?8?2)?i(?4?4))
5
bbbbbb? ? ? ? ? ?
6 8 6 8 6 8
a ? ? ? i on trouve b ;b ? 5?i?a(1?i)? 5?i? ? ? i (1?i); donc b ? 5? ? ?
5 5 5 5 5 5? ?
6 8 23 9
i ?1? ? ? ? i.
5 5 5 5
L’écriturecomplexedelasimilitude s est:
? ?
6 8 23 90z ? ? ? i z? ? i.
5 5 5 5
?6s? ? ? ?2 26 6 ?35
(b) Le rapport, c’est j a j? ? ? ? ? 2. L’angle c’est ?? arg(a) avec cos(?)? ? et
5 5 2 5
?8
?45sin(?)? ? c’estunangledu4emequadrantc’est233audegrésenviron.
2 5
0Lecentredelasimilitude s,c’estlepointfixeW des ,onrésout z ?z.? ?
6 8 23 90z ?z () z? ? ? i z? ? i
5 5 5 5
0z ?z () 5z?(?6?8i)z?23?9i
0z ?z () (11?8i)z?23?9i
23?9i0z ?z () z?
(11?8i)
(23?9i)(11?8i)0z ?z () z?
(11?8i)(11?8i)
253?72?(99?184)i0z ?z () z?
185
325?(?85)i
0z ?z () z?
185
65?(?17)i0z ?z () z?
37
4
C
B
2
A P
2 4 6 8
W N0'233
?2
?4
M
(c) Calculonsl’affixedes(C):
6 8 23 90c’est z ?(? ? i)(2?3i)? ? i
5 5 5 5
10z ? [(?12?24?23)?(?18?16?9)i]
5
bbbbbbcbbc10z ? [(35)?(?25)i]
5
0z ?7?5i
doncs(C)?M.
03. Soit s lasimilitude dontl’écriturecomplexeest:
0
z ?2iz?3?3i.
0(a) Oncalcule z avec z?(1?i)
0z ?2i(1?i?3?3i?5?i?n
0Oncalcule z avec z?(?1?2i)
0z ?2i(?1?2i?3?3i?7?5i?m
0Oncalcule z avec z?(2?3i)
0z ?2i(2?3i)?3?3i?9?i?p
0 0(b) Onrésout z ?z avec s .
Onaz?2iz?3?3idoncenconjuguant:
z??2iz?3?3i
doncenrevenantàlapremièreéquation
z?2i?(?2iz?3?3i)?3?3i,
onaalorsuneéquationdupremierdegréen z donc
z?4z?6i?6?3?3i
?3z??3?3i
doncz?1?i
Commelaméthodeaétécompliquée,onvérifie:
2i(1?i)?3?3i?2i(1?i)?3?3i?
?2i?2?3?3i?1?i
0Lepointfixedes estlepointK d’affixe1?i
1
(c) Soith l’homothétie decentreK etderapport etJlepointd’affixe2.
2
0 0Onpose: f ?s ?h.Commeh(K)?Kets(K)?K,alorss ?h(K)?K.PourJ,parhJesttransforméen
1 2?(1?i)0 00~ ~J pointd’affixe z 0 etcommeKJ ? KJ onpeut direqueJ estlemilieu de[KJ]donc ?z 0J J
2 2
1
0doncz ? (3?i).J 2
0 0Calculonsensuitel’affixedes (J )c’est
1
2i (3?i)?3?3i?i(3?i)??3?3i?2ontrouvebienqueK etJsontinvariantspar f.
2
F est une composée de similitudes l’une directe, l’autre indirecte, donc f est une similitude indi-
recte, qui conserve deux points ,donc c’est la symétrie axiale par rapport à la droite portant ces
deuxpointsdoncparrapportàladroite(KJ).
0 0 ?1 ?1 0(d) Onaétabliques ?h?s doncs ?h?h ?s ?h doncs estlacomposéed’unehomthétieet(KJ) (KJ)
?1d’unesymétrieaxi