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Chasse aux groupes finis 2

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Chasse aux groupes finis 2

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Ajouté le : 21 juillet 2011
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Chasse aux groupes finis 2
CHASSE AUX GROUPES FINIS (2)
Paul BOREL * 2) LA CHASSE EST FERMÉE
P. Borel
Issue des travaux de A. Cauchy, E. Galois et C. Jordan, la théorie des groupes finis s'est fortement développée à la fin du 19ème siècle et au début du 20ème siècle sous l'impulsion de W. Burnside, G. Frobenius, I. Schur et leurs élèves, pour connaître ensuite une période de stagnation relative. Mais, à la suite des travaux de R. Brauer, P. Hall et H. Zassenhaus, pour ne citer qu'eux, cette théorie a connu depuis les années 50 un développement extraordinaire. Plusieurs problèmes jugés en 1900 comme inaccessibles viennent de trouver une solution; tout récemment, en 1980, l'un des plus importants d'entre eux, à savoir la détermination de tous les groupes finis simples, vient d'être résolue. Le but des lignes qui suivent est de retracer brièvement l'historique de cette découverte et de donner quelques références. 1. Groupes à dévisser et à étendre.
Tous les groupes dont il sera question sont finis. La loi de composition d'un groupe sera notée multiplicativement et siGest un groupe ou un ensemble fini, |Gdésigne son cardinal. | Rappelons d'abord quelques définitions: siG est un groupe, un sous-groupeH G est dit –1 –1 distingué dansGsi, pour toutgGon agg H =H, ce qui signifie queg h gHquel que soithH. Un groupeGest dit simple si les seuls sous-groupes distingués deGsont les sous-groupes triviaux deG, c'est-à-direGet lui-même 1 = {1} désignant l'élément neutre deG. Naturellement, siGest commutatif (on dit aussi abélien), tout sous-groupe est distingué. Voici quelques exemples: 1) Désignons parS3groupe des permutations de {1, 2, 3} ; on a | le S3= 6 et | S3être peut décrit par l'écriture en cycles de la manière suivante : S3= {id, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)} . Par exemple (1 3 2) est la permutation 163, 362, 261, tandis que (1 2) est la permutation162, 261, 363. Il est alors facile de voir que {id, ( 1 2 3), ( 1 3 2 )} est un sous-groupe distingué deS3, tandis que {id, (1 2)}, {id, (1 3)} et {id, ( 2 3)}sont des sous-groupes qui ne sont pas distingués dansS3. 2)SoitQ= { ±1, ±i, ±j, ±k} le groupe des quaternions avecij = –ji = k, jk = –kj = i, ki = –ik = j; il est facile de vérifier queQun groupe non commutatif dont tous les sous- est groupes sont distingués.Qest à ce titre un groupe assez exceptionnel. 3)DansS4le groupeD4défini parD4= {id, (1 3), (2 4), (1 2)(3 4), (1 4)(2 3), {1 3)(2 4), (1 2 3 4), (1 4 3 2)} n'est pas distingué;D4 est le groupe diédral d'ordre 8 et on peut se le représenter comme le groupe des isométries planes qui invarient globalement un carré. Puisque l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre d'un groupe (théorème de Lagrange), les groupes cycliques d'ordre premier sont évidemment simples. Il est très facile de voir que ce
* Voici l'article annoncé dans l'Ouvert n°24
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