Math PC Exercices

Description

Math 202 PC. Exercices 2009/2010 PARTIE I : Calcul differentiel. Feuille I –Fonctions de plusieurs variables : generalites, limites, continuite 1.1) Generalites. Fonctions de plusieurs variables, domaine de definition, image. Graphe, traces et courbes de ni- veau. 1.2) Limite d'une application en un point. Limite d'une application en un point, unicite. Proprietes (operations, gendarmes, composition). Limites suivant un chemin. Fonctions usuelles et exemples de calcul. 1.3) Continuite . Definition et exemples. Proprietes (operations, composition de fonctions continues, fonctions usuelles). Exercice 1 Determiner et representer les domaines de definition pour chacune des fonctions suivantes. a. f(x, y) = √ x + y. b. f(x, y) = √ 2x + y2. c. f(x, y) = 1 √ x2 + y2 . d. f(x, y) = 1 √ x + y . e. f(x, y) = arcsin(x + y). f. f(x, y) = √ x2 ? 4 + √ 4? y2 √ 9? x2 ? y2 . g. f(x, y) = √ x sin y + ln(x + 5y).

• r2 differentiable sur r2


• direction du vecteur


• derives partielles d'ordre superieur


• plans tangents


• derivee directionnelle


• derivees partielles


• clase c1 sur r2

Sujets

• Dérivée directionnelle

Informations

• Publié par: profil-urra-2012
• Nombre de lectures: 40

Extrait

Math 202 PC. Exercices 2009/2010 PARTIEI:Calculdiff ´ erentiel.

Feuille I – e ´ nctiFoepluonsdsravisueel:sirbara ´ eeng ´ ,lest ´ lic,setimitiunitno

1.1)Ge ´ ne ´ ralit ´ es. Fonctions de plusieurs variables, domaine de de´finition, image. Graphe, traces et courbes de ni veau. 1.2) Limite d’une application en un point.miLdetienu’lppau,inic ´ t.erPpoiricationenunpoint,sn(oest ´´ eioaterp ´ gendarmes, composition). Limites suivant un chemin. Fonctions usuelles et exemples de calcul. 1.3)Continuit ´ e.ofinncitteiso,nfeioDn ´ seioaterp ´ (oest ´´ eirporP.selpmexettinuscontionfoncnoedisitmoopsnc, usuelles).

Exercice 1 D ´ etermineretrepre ´ senterlesdomainesded ´ efinitionpourchacunedesfonctionssuivantes. p √ 1 2 a.f(x, y) =x+y.b.f(x, y2) = x+y.c.f(x, y) = p . 2 2 x+y √ p 2 2 1x−44 + −y d.f(x, y) = √ .e.f(x, y) = arcsin(x+y).f.f(x, y) = p . x+y 2 2 9−x−y p 2 g.f(x, y) =xsiny+ ln(x+ 5y).h.f(x, y) = ln(1−xy).i.f(x, y) = ln(x+y) p 1 2 2 2 j.f(x, y, z) = 4−x−y−z.k.f(x, y, z) =. x+y+|z|

Exercice 2 Dessiner (a` l’aide des traces) les graphes des fonctions suivantes : 1.f(x, y) = cosxnsavctioersesinttnele ´ emcesipe ´ rircr ´ e.Dioatn’dsnuqe ´ elcealps{y=k}. 2 2 2.f(x, y) = 4x+y. 3.f(x, y) =−xy . Indiquer les courbes de niveau correspondant respectivement a` {z= 1}et{z=−1}. 2 2 4.f(x, y) =x−y.

Exercice 3 De´terminer l’ensemble image des fonctions suivantes : a.f(x, y) = cosxb.f(x, y) = ln(2x−y+ 1).

2xy c.f(x, y) =y e.

2 2 d.f(x, y) =x−y.

Exercice 4 De´terminer si les fonctions suivantes ont une limite en (x, y) = (0,0)et donner leurs valeurs si elles existent. 2 2 2 2 2 x−y x−2xy+y xy+y a..b..c.. 2 2 2 2 2 2 x+y x+y x+ 4xy+y 2 x y1 +x+y|x−y| d..e..f.. 2 2 2 2 2 2 x+y x−y x−2xy+y  ! −|x−y| 2 2 1 +x+y 2 2 x−2xy+y y1/y g. e h.sinyi.|x|.j.|x|. y 2 6 2 2 (x+y)xy xy x+y k..l..m..n.. 2 2 6 8 4 4 x+y x+y x+y x+y 4 2 sinx−sinysinxsinx−ysinx+ (1−cosy) o..p..q..r.. 4 4 shx−shycosy−chx x−siny4x+y

1