Problème 1 Soient a b c trois entiers naturels distincts et supérieurs ou égaux à 2 On forme les huit combinaisons possibles de ces trois nombres utilisant des parenthèses des additions et des multiplications L'objectif est de trouver des familles de nombres a b c pour lesquels deux combinaisons donnent le même résultat A Une première famille

Seris

Description

Section S    Problème 1  Soient a, b, c trois entiers naturels distincts et supérieurs ou égaux à 2. On forme les huit  combinaisons possibles de ces trois nombres utilisant des parenthèses, des additions et des  multiplications.  L'objectif est de trouver des familles de nombres a, b, c pour lesquels deux combinaisons donnent le  même résultat.  A?  Une première famille  1. Ecrire ces combinaisons lorsque :   a=2 b=3 c=4   a=4 b=7 c=8   a=6 b=7 c=8   a=6 b=11 c=12  Sur ces exemples, quelles sont les combinaisons qui donnent le même résultat ?  2. En déduire une première famille d'entiers qui répondent au problème. Le prouver.  B? D'autres familles…  On se propose de trouver d'autres familles telles que (b+c)a=bc+a  1. Déterminer c lorsque a=p et b=p+1, p étant un entier naturel supérieur ou égal à 2  2. Déterminer b lorsque a=2p et c=6p?2, p étant un entier naturel supérieur ou égal à 1  3. En déduire deux autres familles solutions du problème initial  C? Une propriété générale   On se propose de chercher tous les entiers naturels   vérifiant : , , a b c , ( ) : ( ) , est minimum. b c S a b c bc a c a ??

• il est possible de construire sur ce cercle n points tels que les distances entre  deux quelconques de ces points soient toutes différentes


• problème 1  soient a


• section s   


•  il suffit  que le triangle formé par ces 3 points ne soit pas isocèle


• dans cette question e est un ensemble de points de l'espace possédant la même propriété 


• donner un exemple d'ensemble e formé de trois points


•  un triangle équilatéral fait l'affaire


• si l'on souhaite placer un quatrième point il faudra éviter m


• on se propose de trouver d'autres familles telles que 


•  c'est le 29ème après le 44ème   qui est au dessous du 1

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Extrait

SectionS Problème1 Soienta,b,ctroisentiersnaturelsdistinctsetsupérieursouégauxà2.Onformeleshuit combinaisonspossiblesdecestroisnombresutilisantdesparenthèses,desadditionsetdes multiplications. L’objectifestdetrouverdesfamillesdenombresa,b,cpourlesquelsdeuxcombinaisonsdonnentle mêmerésultat. A‐Unepremièrefamille 1. Ecrirecescombinaisonslorsque: a=2b=3c=4 a=4b=7c=8 a=6b=7c=8 a=6b=11c=12 Surcesexemples,quellessontlescombinaisonsquidonnentlemêmerésultat? 2. Endéduireunepremièrefamilled’entiersquirépondentauproblème.Leprouver. B‐D’autresfamilles… Onseproposedetrouverd’autresfamillestellesque(b+c)a=bc+a 1. Déterminerclorsquea=petb=p+1,pétantunentiernaturelsupérieurouégalà2 2. Déterminerblorsquea=2petc=6p‐2,pétantunentiernaturelsupérieurouégalà1 3. Endéduiredeuxautresfamillessolutionsduproblèmeinitial C‐Unepropriétégénérale Onseproposedecherchertouslesentiersnaturels a,b,c vérifiant:

< 1.Prouverque a b .

⎧ ⎪ b<c, ⎪ b+c=bc+a (S) : ⎨ a( ), ⎪ c ⎪ est minimum. ⎩ a

c cc−1 ≥ =+ 2.Démontrerque 2. (onpourramontrerque 1 . ) a ab

3.Endéduiretouteslessolutionsde (S).

1. Solution A1.Danslesexemples1,2et4ontrouvequea(b+c)=a+bc.Pasderésultatsidentiquesdansle3 2.Ces3possibilitéscorrespondentàdestripletsdelaforme(a,2a‐1,2a).Onvérifiequecestriplets sontsolutions B.1.c=p² 2.b=3p 3.(p,p+1,p²)et(2p,3p,6p‐2)