PSI Mardi Février MATHEMATIQUES

Description

PSI Mardi 9 Février 2010 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Espaces euclidiens Exercice 1 : Soient E un espace euclidien et p un projecteur. Montrer que p est un projecteur orthogonal ssi il est autoadjoint. Exercice 2 : (CCP) Soit E un espace euclidien, (a, b) ? E2 et ? ? L(E) définie par : ?(x) =< a, x > b? < b, x > a. Déterminer ??. Exercice 3 : Soit A = ? ? 0 ?c b c 0 ?a ?b a 0 ? ?, avec a, b, c réels non tous nuls. 1. Montrer que I3 + A est inversible. Que dire de I3 ? A ? 2. Montrer que (I3 + A)(I3 ? A)?1 ? SO3(IR). Exercice 4 : Soit A = ? ? a b c c a b b c a ? ? ? M3(IR) Montrer que M ? SO3(IR) ssi il existe t ? [0, 427 ], tel que P (a) = P (b) = P (c) = 0 où P = X3 ?X2 + t. Exercice 5 : Déterminer nature et éléments caractéristiques des endomorphismes de IR3 associés aux matrices suivantes : 1.

• feuille d'exercices espaces euclidiens


• xz ?


• espace euclidien


• diagonalisabilité des matrices ata


• matrice orthogonale


• projecteur orthogonal


• ir3

Sujets

• Espace euclidien
• Matrice orthogonale

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 février 2010
• Nombre de lectures: 33
• Langue: Français

Extrait

PSI MATHEMATIQUES

Mardi 9 FÉvrier 2010

Feuille d’Exercices Espaces euclidiens

Exercice 1: SoientEun espace euclidien etpun projecteur. Montrer quepest un projecteur orthogonal ssi il est autoadjoint.

Exercice 2: (CCP) 2 SoitEun espace euclidien,(a, b)∈Eetϕ∈ L(E)dÉfinie par : ϕ(x) =< a,x > b−< b,x > a. ∗ DÉterminerϕ.   0−c b   Exercice 3: SoitA= c0−a , aveca, b, crÉels non tous nuls. −b a0 1. Montrer queI 3 +Aest inversible. Que dire deI 3 −A? −1 2. Montrer que(I 3 +A)(I 3 −A)∈SO 3 (IR).

  a b c   Exercice 4: SoitA= c a b ∈ M 3 (IR) b c a 4 Montrer queM∈SO 3 (IR)ssi il existet∈[0,], tel queP(a) =P(b) =P(c) = 0oÙ 27 3 2 P=X−X+t.

Exercice 5: DÉterminer nature et ÉlÉments caractÉristiques des endomorphismes de 3 IRassociÉs aux matrices suivantes :   1 2−2 1   1.A = 21 2 . 3 −12 2   1 2−2 1   2.A= −12 2 . 3 2 1 2   2 1 2 1   3.A = 2−2−1 . 3 −1−2 2 Exercice 6: DÉterminer nature et ÉlÉments caractÉristiques de l’ endomorphisme de   1 11 1 1 1 −1 1−1   4 IRassociÉ ÀA=.   2 11−1−1 1−1−1 1 Exercice 7: 3 1. DÉterminer la matrice dans la base canonique de la rÉflexionsdeIRpar rapport au planPd’Équation cartÉsiennex+y+z= 0. π 2. DÉterminer la matrice dans la base canonique de la rotationrd’angle autourde 3 l’axe dirigÉ et orientÉ para= (1,1,1).

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