Institut National Agronomique Paris Grignon

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Institut National Agronomique Paris-Grignon Introduction aux chaınes de Markov homogenes E. Pommies, S. Robin Departement OMIP 16 juin 2004

• processus de croisement frere-soeur


• distribution stationnaire


• evolution de la distribution µn


• probabilites de transition


• chaıne infinie


• etats


• chaınes de markov homogenes

Informations

• Publié par: sucun
• Publié le: 01 juin 2004
• Nombre de lectures: 25

Extrait

Institut National Agronomique Paris-Grignon
Introduction
aux chaˆınes de Markov homog`enes
`E. Pommies, S. Robin
D´epartement OMIP
16 juin 20042`TABLE DES MATIERES 3
Table des mati`eres
1 Introduction aux processus 9
1.1 Processus al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Propri´et´e de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Homog´en´eit´e temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Propri´et´es g´en´erales 17
2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Chaˆıne de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Probabilit´es de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Matrice de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.4 Loi de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20m
2.1.5 Fonctions g´en´eratrices de probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Exemples g´en´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Autof´econdation d’un individu diplo¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Autof´econdation d’un individu t´etraplo¨ıde . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Mod`ele de Wright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Propri´et´es des probabilit´es de transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Chapmann-Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Transition en exactement m ´etapes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Caract´erisation des ´etats et de la chaˆıne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1 Communication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2 P´eriodicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.3 R´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.4 Propri´et´es de quelques chaˆınes particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Comportement asymptotique 35
3.1 Th´eor`emes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Etats r´ecurrents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 Etats transients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36`4 TABLE DES MATIERES
3.2 Distributions asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Distribution stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Distribution limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.3 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Exemples 43
4.1 Croisement fr`ere-soeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Galton-Watson: cas d’une chaˆıne infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2 Probabilit´es de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.3 Loi de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49m
4.2.4 Probabilit´e d’extinction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.5 Probabilit´e d’explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.6 Distribution stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.7 R´ecapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
A Outils math´ematiques 57
A.1 Alg`ebre lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A.1.1 Produit de matrices stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A.1.2 Valeurs propres d’une matrice stochastique . . . . . . . . . . . . . . 57
A.1.3 Th´eor`eme de Perron-Frob´enius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
A.1.4 Existence et unicit´e d’une distribution stationnaire pour une chaˆıne
finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
A.2 Fonctions g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.2.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.2.3 Propri´et´e fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.2.4 Fonction g´en´eratrice d’une somme de variables al´eatoires . . . . . . 60
B D´emonstrations 63
B.1 Propri´et´es g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
B.1.1 Fonctions g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
B.1.2 Classification des ´etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
B.2 Croisement fr`ere-soeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
B.3 Galton-Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
B.3.1 Fonction g´en´eratrice de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66m
B.3.2 Moments de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67m
B.3.3 Probabilit´e d’extinction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
B.3.4 Probabilit´e d’explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
B.3.5 Distribution stationnaire en fonction de μ . . . . . . . . . . . . . . 70TABLE DES FIGURES 5
Table des figures
1.1 G´enotypes d’individus obtenus par autof´econdations successives . . . . . . 11
1.2 Nombre d’appels en attente `a un standard t´el´ephonique . . . . . . . . . . . 11
1.3 Taille d’une famille au cours des g´en´erations successives . . . . . . . . . . . 12
1.4 Taille d’une population dont les individus se reproduisent et meurent . . . 12
1.5 Valeur d’un titre cot´e en bourse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Position dans l’espace d’une particule soumise `a des chocs (mouvement
brownien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Graphe associ´e `a une matrice de transition entre n = 3 ´etats . . . . . . . . 19
2.2 Autof´econdation d’un individu diplo¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Autof´econdation d’un diplo¨ıde: ´evolution de la distributionμ . . . . . . . 22n
2.4 Autof´econdation d’un individu t´etraplo¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Autof´econdation d’un t´etraplo¨ıde: ´evolution des probabilit´es des diff´erents
´etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Graphe associ´e au mod`ele de Wright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Graphe avec classes de communication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Transition entre les classes de communication . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 Distributionstationnairepourlemod`eledeWrightavecmutation(N = 10,
α = 0.05, β = 0.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1 Graphe de transition du processus de croisement fr`ere-soeur . . . . . . . . 44
4.2 Processus de croisement fr`ere-soeur: ´etat inital = (aa×ab) . . . . . . . . . 45
4.3 Processus de croisement fr`ere-soeur : ´etat inital = (ab×ab) . . . . . . . . . 46
′B.1 Probabilit´e d’extinction en fonction de g (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 696 TABLE DES FIGURESLISTE DES TABLEAUX 7
Liste des tableaux
1.1 R´epartition des six exemples en fonction de la nature de l’espace des temps
T et de celui des ´etatsE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1 R´ecapitulatif des propri´et´es du processus de Galton-Watson . . . . . . . . 54
B.1 Distribution limite en fonction des diff´erents ´etats initiaux . . . . . . . . . 668 LISTE DES TABLEAUX9
Chapitre 1
Introduction aux processus
1.1 Processus al´eatoire
1.1.1 Exemples
On pr´esente ici quelques exemples introductifs de ph´enom`enes al´eatoires dont on sou-
haite´etudier l’´evolution au cours du temps; certains seront´etudi´es plus pr´ecis´ement dans
les chapitres suivants.
1. L’autof´econdation est une m´ethode fr´e quemment employ´ee en am´elioration des
plantes. On peut s’int´eresser `a l’´evolution au cours des g´en´erations du caract`e re
homozygote ou h´et´erozygote (pour une g`ene donn´e) d’une succession d’individus
ainsi obtenus. Ce caract`ere est al´eatoire: il est gouvern´e par les lois de Mendel.
2. Pour g´erer des syst`emes de files d’attente tels que des standard t´el´ephoniques, on
utilise souvent des mod`eles al´eatoires: les communications peuvent survenir `a n’im-
porte quel moment et ont une dur´e