Martingales arbitrage et completude

Louis Bachelier

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Chapitre 5 Martingales, arbitrage et completude La notion de martingale joue aujourd'hui un role central en finance mathematique1 ; elle etait deja presente dans la these de Louis Bachelier en 1900 mais elle n'a commence a etre etudiee systematiquement par les mathematiciens que vers 1940, notamment par P. Levy et J.L. Doob, et plus tard par l'ecole de probabilites de Strasbourg, notamment P.A. Meyer. Ce n'est qu'a la fin des annees 70 et au debut des annees 80 (dans un series d'articles de M. J. Harrison, D. M. Kreps et S. R. Pliska) que l'on a commence a comprendre les liens entre les notions economiques ou financieres d'absence d'oportunite d'arbitrage et de completude du marche et la notion mathematique de martingale. Ce sont ces liens que nous etudions ici a travers notamment deux resultats importants parfois appeles les deux theoremes fondamentaux de la finance mathematique. 5.1 Martingales Intuitivement, une martingale est une marche aleatoire n'ayant ni tendance haussiere ni tendance baissiere, sa valeur a chaque instant etant egale a l'esperance de ses valeurs futures. On utilise des marches aleatoires ayant cette propriete pour modeliser le prix des actifs financiers car un prix de marche est un nombre sur lequel deux parties, celle qui achete et celle qui vend, tombent d'accord ; si le prix avait une tendance a la hausse, le vendeur n'aurait pas accepte la transaction et inversement s'il avait une tendance a la baisse c'est l'acheteur qui l'aurait refuse.

• troisieme propriete de la proposition


• marche


• modeles crr pour decrire


• martingale


• portefeuille


• esperance


• arbitrage

Sujets

• Economie
• Bachelier
• Bouleau
• Marché
• Martingale
• Portefeuille
• Espérance
• Arbitrage

Informations

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Extrait

Chapitre 5

Martingales,arbitrageetcompl´etude

1 Lanotiondemartingalejoueaujourd’huiunroˆlecentralenfinancemathe´matique;ellee´taitde´ja pr´esentedanslath`esedeLouisBachelieren1900maisellen’acommence´a`eˆtre´etudi´eesyst´ematiquement parlesmathe´maticiensquevers1940,notammentparP.LevyetJ.L.Doob,etplustardparl’e´colede probabilit´esdeStrasbourg,notammentP.A.Meyer.Cen’estqu’a`lafindesanne´es70etaude´butdes anne´es80(dansuns´eriesd’articlesdeM.J.Harrison,D.M.KrepsetS.R.Pliska)quel’onacommence´ `acomprendrelesliensentrelesnotions´economiquesoufinancie`resd’absenced’oportunite´d’arbitrageet decompl´etudedumarche´etlanotionmath´ematiquedemartingale.Cesontcesliensquenouse´tudions icia`traversnotammentdeuxr´esultatsimportantsparfoisappel´eslesdeuxthe´ore`mesfondamentauxde lafinancemath´ematique.

5.1 Martingales Intuitivement,unemartingaleestunemarcheale´atoiren’ayantnitendancehaussi`erenitendance baissie`re,savaleura`chaqueinstant´etant´egalea`l’espe´rancedesesvaleursfutures.Onutilisedes marchesale´atoiresayantcettepropri´et´epourmod´eliserleprixdesactifsfinancierscarunprixdemarch´e estunnombresurlequeldeuxparties,cellequiache`teetcellequivend,tombentd’accord;sileprix avaitunetendance`alahausse,levendeurn’auraitpasaccept´elatransactionetinversements’ilavait unetendancea`labaissec’estl’acheteurquil’auraitrefuse´.Doncilestnatureldesupposerqu’unfair- pricene’naleC.elagnitaremedt´´eriopprirpeenavrpxieuelentqllemnenutraiatacsaes,rlnolte´’aal dumondequiser´ealise,ilaugmenteeffectivementoubiendiminue.Maislorsquel’onprendencompte l’ensembledes´etatsdumondepossibles,ilestraisonnabledesupposerquesavariationespe´re´eestnulle. Biensˆur,lesve´ritablesvariationsduprixquiinterviendrontdanslare´alite´,etquide´pendentdel’e´tatdu monde,serontcertainementnonnulles.D’ailleurs,c’estparcequelesdeuxpartiesn’ontpaslesmˆemes anticipationssurl’e´tatdumondequivaser´ealiserquelatransactionalieu. De´finition:Soit (Ω,T, Pnu)apseeistiotilis´efinceprobabF:= (F t filtration de Ω. On dit) une t∈ T qu’unemarcheale´atoireM:= ( M t ) t∈[0. t uneF-martingale(mtg) siet seulement si .T] δ est pour touss≤t,M s =E(M t |F s ).(5.1)

Observonsqu’ilre´sultedelad´efinitiondel’esp´eranceconditionnellequ’uneF-martingale est toujours unemarcheal´eatoireFtoutuq,eopru`--aider´tpada-tse’c,eet, la v.a.M t estF t -mesurable. Lapropositionsuivantedonnetroisautrescaract´erisationsdelaproprie´te´demartingale,souvent utiles,quide´coulent´egalementdespropri´et´esdel’esp´eranceconditionnelle.OnutiliselanotationE s X:= E(X|F s ). Proposition 5.1´te´usserpseirpot´onuieqanivssteaveltnseL 1.Mest une martingale. 2. Pourtouts∈T,M s =E s (M s+δt ). 3. Pourtouts∈T,E s (δM s+δt ) = 0u,o`δM s+δt :=M s+δt −M s . 4. Pourtouts≤tdansT,E s (M t −M s ) = 0.

1 Voir le livre de Nicolas Bouleau,rahce´fisancneisrMartingalesetm, Editions Odile Jacob, 1998 23