Universite de Nancy I Licence

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Universite de Nancy I Licence 3 Integration et Probabilites corrige de l'examen du 2 decembre 2010 I 1. La fonction t 7? e?ttx?1 est continue sur ]0,+∞[, donc localement integrale sur ]0,+∞[. Reste a etudier l'integrabilite en 0 et en l'infini. En 0, e?ttx?1 ? tx?1, et comme x? 1 > ?1 et que tx?1 est de signe constant au voisinage de 0, l'integrabilite en 0 decoule du critere d'equivalence avec une integrale “de type Riemann” classique. En l'infini, e?ttx?1 = o(e?t/2), ce qui donne la convergence en l'infini. 2. Soient a, b reels avec 0 < a < b < +∞. Pour tout t > 0, on a ∂ ∂x ( e?ttx?1 ) = log te?ttx?1. Comme pour tout t > 0 et tout x ?]a, b[, on a | log te?ttx?1| = (? log t)e?ttx?111]0,1[(t) + log te?ttx?111[1,+∞[(t) = (? log t)e?ttx?111]0,1[(t) + log te?ttx?111[1,+∞[(t) ≤ (? log t)e?tta?111]0,1[(t) + log te?ttb?111[1,+∞[(t), on pourra appliquer le theoreme de derivation sous le signe somme des qu'il sera acquis que t 7? (? log t)e?tta?111

• signe constant au voisinage


• theoreme de con- vergence dominee


• theoreme de derivation sous le signe


• decoule du critere d'equivalence

Informations

• Publié par: profil-zyan-2012
• Publié le: 01 décembre 2010
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Extrait

Universite de Nancy I Licence 3
Integration et Probabilites
corrig´e de l’examen du 2 d´ecembre 2010
I
t x 11. La fonction t 7! e t est continue sur ]0;+1[, donc localement
int´egrale sur ]0;+1[. Reste `a´etudier l’int´egrabilit´e en 0 et en l’infini.
t x 1 x 1 x 1En 0, e t t , et comme x 1 > 1 et que t est de signe
constant au voisinage de 0, l’int´egrabilit´e en 0 d´ecoule du crit`ere
d’´equivalence avec une int´egrale “de type Riemann” classique. En
t x 1 t=2l’infini, e t = o(e ), ce qui donne la convergence en l’infini.
2. Soient a;b r´eels avec 0 < a < b < +1. Pour tout t > 0, on a
( )@ t x 1 t x 1e t = logte t :
@x
Comme pour tout t > 0 et tout x2]a;b[, on a
t x 1 t x 1 t x 1jlogte t j = ( logt)e t 1 (t)+logte t 1 (t)]0;1[ [1;+1[
t x 1 t x 1= ( logt)e t 11 (t)+logte t 11 (t)]0;1[ [1;+1[
t a 1 t b 1 ( logt)e t 1 (t)+logte t 1 (t);]0;1[ [1;+1[
onpourraappliquerleth´eor`emeded´erivationsouslesignesommed`es
t a 1 t b 1qu’ilseraacquisquet7! ( logt)e t 1 (t)+logte t 1 (t)]0;1[ [1;+1[
est int´egrable sur ]0;+1[.
La fonction est continue, donc localement int´egrable. En 0, on a
a=2 t t a 1 a=2 1logt = o(t ) et e 1, d’ou` ( logt)e t = o(t ), ce
qui donne l’int´egrabilit´e en 0. En +1, comme logt = o(t), on a
t b 1 t b b t=2 t b 1logte t = o(e t ),maist = o(e ),doncfinalementlogte t =
t=2o(e ), ce qui donne l’int´egrabilit´e en l’infini.
Ainsi, la fonction Γ est d´erivable sur ]a;b[, avec
∫ +1
0 t x 18x2]a;b[ Γ(x) = e logt t d (t):
0
Mais comme la d´erivabilit´e est une propri´et´e locale et que tout point
de]0;+1[admetunvoisinagedelaforme]a;b[,aveca;br´eelsv´erifiant
0 < a < b < +1, le r´esultat s’ensuit.
1II
1.
u u = (H H ) (logn log(n 1))n n 1 n n 1
1
= +log(1 1=n)
n
1 1 1
= +O( )
2n n n
1
= O( ):
2n
∑ nAinsi la s´erie de terme g´en´eral u u converge, mais (un n 1 nk=2
u ) = u u , donc la suite (u ) converge.n 1 n 1 n n1
2. Pour tout v2]0;1[, on a
n n1 (1 v) 1 (1 v)n 11+(1 v)++(1 v) = = :
1 (1 v) v
En int´egrant entre 0 et 1, on obtient
∫ ∫n 1 1 1 n∑ 1 (1 v)k(1 v) dv = dv:
v0 0k=0
∫ ∫1 1k k 1Or (1 v) dv = v dv = , d’ou`
0 0 k+1
∫ n 11 n ∑1 (1 v) 1
dv = = H :n
v k+10
k=0
3. On fait une int´egration par parties : pour tout " > 0, on a
∫ ∫1 1n+1 n+11 (1 v) 1 1 (1 v)nlogv (1 v) dv = [logv dv
n+1 n+1 v" "
∫ 1n+1 n+11 (1 ") 1 1 (1 v)
= log" dv
n+1 n+1 v"
n+11 (1 ")
Cependant, on a l’´equivalent en 0 : log" "log", d’ou`
n+1
en faisant tendre " vers 0 :
∫ ∫1 1 n+11 1 (1 v) Hn+1nlogv (1 v) dv = dv =
n+1 v n+10 1
grˆace `a la question pr´ec´edente.
t 0 t4. Onposef(t) = 1 t e .f estd´erivablesurR,avecf (t) = 1+e .
0Ainsi f est n´egative surR , et donc f est d´ecroissante surR , avec+ +
pour tout t 0, f(t) f(0) = 0, d’ou` l’in´egalit´e voulue.
t n5. Posons, pour t > 0 et n 1, f (t) = (1 ) logt1 (t). Comme fn n[0;n]n
est de signe constant, continue par morceaux, on a
∫ ∫ ∫ n
f (x) d (x) = f (x) d (x) = f (t) dt = I :n n n n
]0;+1[ ]0;n] 0
t nPour n t, on a f (t) = (1 ) logt.n n
2t n t nMais (1 ) = exp(log(1 ) ) = exp(nlog(1 t=n)) : lorsque
n n
n tend vers l’infini log(1 t=n) t=n, d’ou` nlog(1 t=n) t :
n tlim limainsi, nlog(1 t=n) = t=n, d’ou` (1 t=n) = e .
n!+1 n!+1
tFinalement, pour tout t > 0, lim f (t) = e logt.n
n!+1
On a pour t entre 0 et n
t n t=n n t0 (1 ) ( logt) (e ) ( logt) = ( logt)e ;
n
td’ou` 0 f (t) ( logt)e . La derni`ere in´egalit´e est encoren
v´erifi´ee pour t > n : les termes sont tous nuls. Ainsi, on a sur ]0;+1[
tl’in´egalit´e 0 f (t) ( logt)e : comme, on l’a vu au I, cetten
fonction est int´egrable, on peut alors appliquer le th´eor`eme de con-
vergence domin´ee et on a
∫ +1
tlim I = e logt dt:n
n!+1 0
6. Un simple changement de variable affine donne
∫ ∫ ∫n 1 1
nf (t) dt = n f (ny) dy = n log(ny)(1 y) dy:n n
0 0 0
∫ ∫
1 1
n n= nlogn (1 y) dy+n logy(1 y) dy:
0 0
nlogn Hn+1
= n ;
n+1 n+1
n n 1soit I = (logn H ) = (logn H ) Commen n+1 nn+1 n+1 n+1
lim H logn = ,celanousdonne lim I = .Or,d’apr`esn n
n!+1 n!+1
∫+1 tlimla question pr´ec´edente, I = e logt dt, qui d’apr`es len 0
n!+1
0 0I, est ´egal `a Γ(1) : on obtient donc l’identit´e = Γ(1).
FIN
3