Corrigé du bac blanc 2014 de mathématiques - séries ES et L

Description

Correction Baccalauréat Blanc en TES Février 2013 Exercice 1 : QCM 1) « La probabilité que la variable aléatoire X soit strictement supérieure à 9 et inférieure ou égale à 12 est égale à 0,37%. » La probabilité cherchée est p(90⇔ u >u c'est à dire que la suite (u ) est croissante.n+1 n n+1 n n 5°) AEntrée Saisir Traitement N prend la valeur 0 U prend la valeur 50 Tant que U⩽ A U prend la valeur U×0,95+3 N N+1 prend la valeur Fin Tant que Sortie Afficher N La valeur de A est : A=1,1×50=55 n6°) u =60'10×0,95n nPour tout entier naturel n ; lim 0,95=0 car 0 x , d'après 0 2)a) partie A, soit pour x>1,12 hl c'est à dire une production comprise à 112 litreset 800 litres. ?

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• Publié par: LEtudiant.fr
• Publié le: 12 mai 2014
• Nombre de lectures: 2 517
• Langue: Français

Extrait

Correction Baccalauréat Blanc en TES Février 2013
Exercice 1 : QCM
1) « La probabilité que la variable aléatoire X soit strictement supérieure à 9 et inférieure ou
égale à 12 est égale à 0,37%. »
La probabilité cherchée est p(9< X⩽12) . On peut la calculer de deux façons possibles à
partir du tableau, avec évidemment le même résultat :
a) p(9< X⩽12)= p(10⩽ X⩽12)= p( X=10)+ p( X=11)+ p( X=12)
On regarde la colonne p( X=k) dans le tableau et on ajoute les valeurs correspondant aux
valeurs k égales à 10, 11 et 12
p(9< X⩽12)=0,0030+0,0006+0,0001=0,0037 soit 0,37 %. L'affirmation est VRAIE
b) p(9< X⩽12)= p( X⩽12) p( X⩽9) = 1'0,9963=0,0037=0,37 en utilisant la
p( X⩽k) k=12colonne probabilités cumulées et les valeurs correspondant à et
1,96× p(1' p)√p+
n√
2) « L'intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, de la proportion de voitures
mises en service depuis 6 mois et n'ayant eu aucun sinistre est I = [0,84;0,98] en
'2arrondissant les bornes de l'intervalle à 10 près. »
1 1
f' f+ fL'intervalle de confiance cherché est I = [ ; ] où est la fréquence
√n √n
182
constatée dans l'échantillon de taille n . Dans notre cas, n=200 et f= =0,91 .
200
1 1
0,91' 0,91+ [0,091'0,07;0,91+0,07]L'intervalle I est donc [ ; ]= en
√200 √200
'2arrondissant les bornes de l'intervalle à près . Donc I= [0,84;0,98]10
L'affirmation est VRAIE.
3) « Avec cette étude, le professeur va décider qu'il ne peut pas contredire le journaliste. »
pOn note la proportion des élèves de toute la population disant envoyer au moins un texto
par jour pendant les heures de cours . On fait l'hypothèse que p=0,8
On utilise un échantillon de taille n=100 donc n⩾30 .
On va déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95, les autres
np=80⩾5 n(1' p)=20⩾5conditions et étant vérifiées.
1,96× p(1' p) 1,96× p(1' p)√ √ 0,8 –1,96×0,04;0,8+1,96×0,04I = [ p' ; p+ ] = [
n n√ √
]
= [0,8 – 0,0784 ; 0,8 + 0,0784 ] = [ 0,7216 ; 0,8784]La fréquence observée dans l'échantillon est f=0,58 et cette fréquence n'appartient pas à
l'intervalle de fluctuation précédent. Le professeur peut donc rejeter l'hypothèse p=0,8
avec un risque de 5% de se tromper. L'affirmation est FAUSSE.
4) « Si on veut que la longueur de l'intervalle I soit divisée par 4, il faut multiplier la taille de
l'échantillon par 4. »
1
Dans l'intervalle de confiance, c'est la valeur n qui intervient dans l'écriture que l'on √
n√
enlève ou que l'on ajoute à la fréquence f observée dans l'échantillon.
Si on veut que la longueur de l'échantillon soit divisée par 4, il faut prendre un nombre n
1 1 1
16 fois plus grand : si on remplace n par 16 n , est remplacé par = et il
√n √16n 4√n
est donc divisé par 4. L'affirmation est FAUSSE .
Exercice 2 (Spécialité) à la fin
Ex ercice 2 : Suites
1°)
a) la quantité d'arbres initiale est de 50 milliers, soit u =500
5
diminuer de 5% la quantité des arbres revient à multiplier cette quantité par q=1' =0,95
100
on replante chaque année 3 milliers d'arbres.
u (2010+n) la quantité d'arbres en milliers l'année n
u la quantité d'arbres l'année suivante en milliers est obtenue par u =u ×0,95+3 .n+1 n+1 n
u =0,95×u +3=0,95×50+3=50,5b) 1 0
2°) v =60'un n
v =60'u=60'50=10a) 0 0
v =60'u =60'50,5=9,51 1
v =60'ub) n+1 n+1
v =60 ( 0,95×u +3)n+1 n
v =57'0,95×un+1 n
v =0,95(60'u )=0,95×vn+1 n n
(v ) q=0,95 v =10 est une suite géométrique de raison et de terme initial n 0
n nc) soit v =v ×q v =10×0,95n 0 n
nd) v =60'u ⇔ u =60'v donc u =60'10×0,95n n n n n
n=53°) L'année 2015 correspond au rang 5u =60'10×0,95≈52,262 soit 52262 arbres5
4°)
n+1 n n na) u 'u =60'10×0,95 '60+10×0,95= 10×0,95×(0,95'1)=0,5×0,95n+1 n
b) pour tout entier naturel n ; u 'u >0⇔ u >u c'est à dire que la suite (u ) est croissante.n+1 n n+1 n n
5°)
AEntrée Saisir
Traitement N prend la valeur 0
U prend la valeur 50
Tant que U⩽ A
U prend la valeur U×0,95+3
N N+1 prend la valeur
Fin Tant que
Sortie Afficher N
La valeur de A est : A=1,1×50=55
n6°) u =60'10×0,95n
nPour tout entier naturel n ; lim 0,95=0 car 0<0,95<1
n→+∞
n ndonc lim 10×0,95 =0 et lim 60'10×0,95 =60
n→+∞ n→+∞
interprétation : La quantité d'arbre augmente chaque année, mais va se stabiliser à terme autour de
60 milliers d'arbres.
Ex ercice 3 : Probas
1) D'après l'énoncé, p(F)=0,58 , p (G)=0,24 et p (G) = 1' p (G) = 1'0,24=0,76F F F
2) Arbre de probabilités
G
0,24
F
0,58 0,76 G
G
0,13
0,42
F
0,87 G
p F G p(F) p (G) 0,58×0,763) ( ∩ ) = * = = 0,4408F
La probabilité qu'une personne ait une connexion Internet sur ligne fixe et n'ait pas d'accès
avec une clé 3G est 0,4408G G G G4) a) = ( F ∩ ) U ( F ∩ ) : est donc la réunion de deux événements
incompatibles F ∩ G et F ∩ G et dont la probabilité s'obtient en ajoutant les deux
probabilités
p G 0,42×0,87=0,3654 ( F ∩ ) = d'après l'arbre
GDonc p ( ) = 0,4408+0,3654 = 0,8062
b) p(G) = 1- p ( G ) = 1- 0,8062 =0,1936 <0,25
On ne peut donc pas affirmer qu'au moins 25% des abonnés ont un accès Internet avec une
clé 3G
5) On tire une fiche au hasard : elle correspond à une personne qui n'a pas d'accès avec une clé
3G , probabilité = 0,8062.
On fait 3 répétitions de cette expérience de manière indépendante.
La probabilité qu'exactement une des trois personnes n'ait pas accès à Internet avec une clé
23G est 3×0,8062×(1'0,8062)≈0,09
Exercice 4 : Etude d'une fonction
Partie A :
2 ' xf [0;8]On considère la fonction définie sur par f (x)=( 4 x +5)e +3 .
f (x) uv u' v+uv'1) a) est un produit de la forme +3 de dérivée
2u(x)= 4 x +5 donc u'( x)= 8 x
' x 'x donc v( x)=e v '(x)= e
'x 2 ' x 2 'x 2 ' xf '( x)= 8 x e +( 4 x +5)×( e ) = ( 8x+4 x '5)e = (4 x '8 x'5)e
2 2b) Soit g( x)=4 x '8 x'5 . C'est un trinôme du second degré de la forme a x +b x+c
2avec a=4,b= 8,c= 5 , de discriminant ∆=b '4 ac=64+4×4×5=144
8'12 1 8+12 20 5
Ce trinôme a deux racines : x = = et x = = =1 28 2 8 8 2
1 5
Il se factorise 4 x+ x'( )( )2 2
c) Le signe de g( x) est donné par le tableau suivant ( positif à l'extérieur des racines et
positif entre les racines )
x –∞ -1/2 5/2 +∞
g( x) + 0 - 0 +
'xLa dérivée f '( x) est le produit de e toujours strictement positive et de g( x) donc elle
est du signe de g( x) dans [0;8] seulement
'''''''x0 5/2 8
g(x) - 0 +
x02,5 8
f '(x) –0 +
8 2,916
f(x)
1,358
f2) a) Dans l'intervalle [0;2], la fonction est continue, strictement décroissante et
3 [ f(2), f (8)] donc l'équation f (x)=3 admet une solution unique x , d'après le 0
théorème des valeurs intermédiaires.
b) Par balayage, avec la calculatrice, on trouve: 1,11<x <1,120
3) a) En observant la courbe de f ' ' , on peut donner son tableau de signes
x 0 0,197 3,803 8
f ' '(x) - 0 + 0 -
Lorsque f ' ' est négative, f ' est décroissante et f est concave.
Lorsque f ' ' est positive, f ' est croissante et f est convexe.
La fonction f est convexe sur [0,197;3,803] et la fonction f est concave sur [0;0,197] et
sur [3,803;8].
b) Il existe donc deux points d'inflexions sur le courbe de f , d'abscisses 0,197 et 3,803.
Partie