Courbes et fibres vectoriels en theorie de Hodge p adique

Laurent Fargues

Description

Courbes et fibres vectoriels en theorie de Hodge p-adique Laurent Fargues Travail en commun avec J.M. Fontaine

• qp ?


• xn ?


• algebriquement clos


• algebre de frechet


• applications arithmetiques

Sujets

• Fontaine
• Fargues

Informations

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• Nombre de lectures: 49
• Langue: Français

Extrait

Courbes

et

fibr´es

vectorielsenthe´orie

Travail

en

Laurent commun

Fargues avec J.M.

de Hodge

Fontaine

p-adique

L’anneauB +

L’anneauB

Fsiit´treracadtcequecco´elemppsorluvap,v:F→R∪ {+∞}, \ alge´briquementclos ` F'k((π))

pour

les

applications

arithme´tiques

´

L’anneauB +

Fcoeu´eristiqdecaractcemolpteprvsla´up,v:F→R∪ {+∞}, \ alg´ebriquementclos ` F'k((π ´tiques)) pour les applications arith me

W(O F ) ˆ 1 ˜ p

˘

P

P n−∞ [x n ]p n |x n ∈ O F

¯

´

L’anneauB +

Fcsprolempectdluvaco´eert´acarequtiisp,v:F→R∪ {+∞}, \ alge´briquementclos ` F'k((π)lrsep)uoe´mhuqitseplapaticnsioitar ´ W(O F ) ˆ 1 p  P ˜ ˘ n−∞ [x n ]p n |x n ∈ O F ¯ _

v r



R∪ {+∞}

pourr∈R + ,v r est une valuation

 n i ∈ nf Z {v(x n ) +nr}

L’anneauB +

Fule´spaveldtocpmact´ecartiqueriseorcp,v:F→R∪ {+∞}, \ alge´briquementclos ` F'k((πoitarasnpasecilp)p)rlouquesithm´eti ´ W(O F ) ˆ 1 p ˜ ˘  P n−∞ [x n ]p n |x n ∈ O F ¯ _

v r

 R∪ {+∞}

 n i ∈ nf Z {v(x n ) +nr}

pourr∈R + ,v r est une valuation De´finition On note B + lempcoetl´de´eW(O F ) ˆ p 1 ˜ ort`apraarpp(v r ) r>0 .

ϕest bijectif

ϕ

""

B + =Q p −theecFrlaederbe`g

0≤i≤d−1 X d−1 )7−→ X 0 x...x ´ + h ϕp= ( d

{z P

h,d

` B + ´ ϕ | {z

=p

P h

}

=

D´efinition h≥1,

P h,0 ebg`al-re

Alge`bregradu´ee

gr d ´ a uee.

M d≥0

=

Q p h

p ˜ i h i+dn ˆ Z∈n n− p x F O ∼ )−(→ + B ϕ ´ = hd p 1) G rig O F (F)=G( e´dheinfilrap-FsepotogiloeBedacanaenffiorpu B e ( d ¨odıtsd’poinus-gunso m .1<<0r B(→−− ∼ F d B d ⊂ ˚ )0ou)p1(0 h urF p G rig O F ' ˚ B d (0 coilenedeptn d es h fopeelrmdip-isv.≤1eu,h≤d=Gisuorg eBanaced orsq ach L + B ϕ ´` e=ps = hd p d

P h = M ` B + ´ ϕ=p d≥0 | P {z } h,d

˚ 'B d G O F (01)

Lorsque 1≤d≤h, siG= groupe formelp-div. isocline de pente d h surF p

Q p h =P h,0 erbedarg-`glaeeu´. h ` B + ´ ϕ=p d = espace de Banach

Definition ´ h≥1,

Alg`ebregradue´e

i+ ˜ p nd −nh i Z ˆ x p 1 X n∈≤i−d X → ≤0 ) 1 −7x −d stniop-Fsuosnu’dfin´ehdacesrlpaieopol d p otBenaigde ) ∼ −G(O F ´ ϕ h = →(B + ´ + B( p= h ϕ 0 x( d ... r0ou<1< d F . m−→ ∼ − ( d 0) ˚ ⊂ d B0(1p) -groupeaffino¨ıde B gir (F)= ig O F G r hd

−1 X n≤i≤d p −nh ∈Z ˆ x. d x 0 ..→− 0 X 1− 7) i+dn p ˜ i

P h = ` | M B + {z ´ ϕ h =p d } d≥0 P h,d

G r O ig F (F) =G(O F )− ∼ →(B + ´ ϕ h =p d topologiedeBanachde´finieparlesF-points d’un sous-groupe affino¨de ı B d (0 )⊂ ˚ B d (01) pour 0<  <1.

˚ G r O ig F 'B d (01)

Q p h =P h,0 gla-rbe`e.raeg´edu ` B + ´ ϕ h =p d = espace de Banach Lorsque 1≤d≤h, siG= groupe formelp-div. isocline de pente d h surF p

De´finition h≥1,

Alge`bregradue´e

−− F ∼ B + →( h = ´ ϕ (x p d d m