Formulation eulerienne en vitesses

Description

DEFORMATIONS 1 Formulation eulerienne en vitesses 1.1 Tenseur gradient des vitesses de deplacement Sous l'effet d'un chargement exterieur, un corps solide peut se deformer. Un point materiel P , de position initiale ??X fixee dans la configuration C0, vient en position ??x dans la configuration courante C(t). Ces positions sont reliees entre elles par le vecteur deplacement ??u . En configuration eulerienne, l'evolution de la position du point P est donnee dans C(t) par sa vitesse instantanee ??v . Pour decrire localement la transformation du solide, nous avons vu que celle- ci etait linearisee autour du point P , ce qui permet de definir le tenseur gra- dient de la transformation F . De la meme fac¸on, nous etudions ici l'evolution d'un vecteur??dx autour du point P par l'intermediaire de sa variation au cours du temps. Nous obtenons : d dt (??dx ) = ddt ( F .??dX ) = F˙ .??dX = F˙ .F?1.??dx = L.??dx avec L = F˙ .F?1 = grad(??v (??x ,t)) (1) Cette equation permet de definir le tenseur gradient des vitesses de deplacement L. Il est important de noter ici que ce tenseur n'est pas la derivee par rap- port au temps d'une quantite, mais le gradient d'une vitesse. C'est pour cela qu'il est note sans point dessus.

• configuration eulerienne


• tenseur gradient des vitesses de deplacement


• tenseur


• deformation du solide


• tenseur des taux de deformation et de rotation


• integration en temps de la vitesse courante des particules du solide etait difficile


• composante

Sujets

• Transformation
• Tenseur
• Composante
• cours
• cours de

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Extrait

1

1.1

 DEFORMATIONS

Formulationeulerienneenvitesses

Tenseurgradientdesvitessesdedeplacement

Sousl’eetd’unchargementexterieur,uncorpssolidepeutsedeformer. −→ UnpointmaterielP, de position initialeXocnsnaleeadxtionguraC 0 , −→ vient en positionxdans la conguration couranteC(t). Ces positions sont −→ relieesentreellesparlevecteurdeplacementunoitarugeireluenne,ncoEn. l’evolutiondelapositiondupointPnnoadeensdtseC(t) par sa vitesse −→ instantaneev.

Pourdecrirelocalementlatransformationdusolide,nousavonsvuquecelle- cietaitlineariseeautourdupointPeedtdmeteleirnargruesn-,pireecuq dient de la transformationFnon,eusditusion’licoveitulno.eDalˆmmefeaoc −→ d’un vecteurdxautour du pointPederiaidemretniouucnaioatrivasasrarl’p du temps. Nous obtenons :

³ ´ ³ ´ d −→ d →→−−→−→− −1 ˙ ˙ dx=F .dX=F .dX=.dxF .F =L.dx dt dt −1 →−→− ˙ avecL=F .F=grad(v(x ,t))

(1)

Cetteequationpermetdedenirletenseurgradientdesvitessesdedeplacement L-praareperevidlaastpesn’urseneteceuqiciretonlIseitpmroattned. portautempsd’unequantite,maislegradientd’unevitesse.C’estpourcela qu’ilestnotesanspointssus.Sesdeetssnoptocpmsonaogomneertouthanas −1 l’inverse d’un temps (sansu).Dromhtnoesroenabsapoomscsee,xeesetn sont :

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