Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Racines des polynomes reels et complexes

Michael Eisermann

Description

Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynomes reels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009

• localisation grossiere des racines


• equations polynomiales


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• localisation effective des racines reelles


• racines des polynomes reels

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• Langue: Français

Extrait

Mathematiques´ assistees´ par ordinateur
Chapitre 4 : Racines des polynomesˆ reels´ et complexes
Michael Eisermann
´Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009
www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao
`Document mis a jour le 6 juillet 2009Sommaire
´1 Equations polynomiales et existence des racines
2 Localisation effective des racines reelles´ et complexesSommaire
´1 Equations polynomiales et existence des racines
´ : degre´ 4 vs degre´ 5
Racines rationnelles : recherche exhaustive
Localisation grossiere` des racines : la borne de Cauchy
2 Localisation effective des racines reelles´ et complexes´ ´Degre 1 : Pour l’equationx +a = 0 on trouve la solutionx = a .0 0
2´Degre 2 : Pourx +px +q = 0 on trouve
2x +px +q = 0
22p p
, x + +q = 0
2 4
22p p
, x + = q
2 4
r
2p p
, x + = q
2 4
r
2p p
, x = q
2 4
´Equations polynomiales
On veut resoudre´ une equation´ polynomiale (reelle´ ou complexe)
n n 1x +a x + +a x +a = 0n 1 1 02´Degre 2 : Pourx +px +q = 0 on trouve
2x +px +q = 0
22p p
, x + +q = 0
2 4
22p p
, x + = q
2 4
r
2p p
, x + = q
2 4
r
2p p
, x = q
2 4
´Equations polynomiales
On veut resoudre´ une equation´ polynomiale (reelle´ ou complexe)
n n 1x +a x + +a x +a = 0n 1 1 0
´ ´Degre 1 : Pour l’equationx +a = 0 on trouve la solutionx = a .0 02x +px +q = 0
22p p
, x + +q = 0
2 4
22p p
, x + = q
2 4
r
2p p
, x + = q
2 4
r
2p p
, x = q
2 4
´Equations polynomiales
On veut resoudre´ une equation´ polynomiale (reelle´ ou complexe)
n n 1x +a x + +a x +a = 0n 1 1 0
´ ´Degre 1 : Pour l’equationx +a = 0 on trouve la solutionx = a .0 0
2´Degre 2 : Pourx +px +q = 0 on trouve´Equations polynomiales
On veut resoudre´ une equation´ polynomiale (reelle´ ou complexe)
n n 1x +a x + +a x +a = 0n 1 1 0
´ ´Degre 1 : Pour l’equationx +a = 0 on trouve la solutionx = a .0 0
2´Degre 2 : Pourx +px +q = 0 on trouve
2
x +px +q = 0
22p p
, x + +q = 0
2 4
22p p
, x + = q
2 4
r
2p p
, x + = q
2 4
r
2p p
, x = q
2 4D’abord on substituex =y a=3 pour eliminer´ le terme quadratique :
3y +py +q = 0:
2 3a 2a 9abApres` un petit calcul on trouvep =b etq =c + .3 27
3´Ensuite on remplacey =z p=3z et multiplie toute l’equation parz :
3p6 3z +qz = 0:
27
3C’est une equation´ quadratique enz ! On en deduit´ que
r
2 3q q p3z = + :
2 4 27
3Ceci permet de calculerz puisz, puisy, et finalementx.
La formule de Tartaglia–Cardano
En degre´ 3 on cherche a` resoudre´
3 2x +ax +bx +c = 0:2 3a 2a 9abApres` un petit calcul on trouvep =b etq =c + .3 27
3´Ensuite on remplacey =z p=3z et multiplie toute l’equation parz :
3p6 3z +qz = 0:
27
3C’est une equation´ quadratique enz ! On en deduit´ que
r
2 3q q p3z = + :
2 4 27
3Ceci permet de calculerz puisz, puisy, et finalementx.
La formule de Tartaglia–Cardano
En degre´ 3 on cherche a` resoudre´
3 2x +ax +bx +c = 0:
D’abord on substituex =y a=3 pour eliminer´ le terme quadratique :
3y +py +q = 0:3´Ensuite on remplacey =z p=3z et multiplie toute l’equation parz :
3p6 3z +qz = 0:
27
3C’est une equation´ quadratique enz ! On en deduit´ que
r
2 3q q p3z = + :
2 4 27
3Ceci permet de calculerz puisz, puisy, et finalementx.
La formule de Tartaglia–Cardano
En degre´ 3 on cherche a` resoudre´
3 2x +ax +bx +c = 0:
D’abord on substituex =y a=3 pour eliminer´ le terme quadratique :
3y +py +q = 0:
2 3a 2a 9abApres` un petit calcul on trouvep =b etq =c + .3 27