Mathématiques pour les sciences physiques

Alain Robichon

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M3A : ANALYSE DE FOURIER (1). page 1/5 ANALYSE DE FOURIER 1 : SÉRIES DE FOURIER. I : Les séries de Fourier. 1°) Le théorème de Dirichlet. Sous certaines conditions de régularité dont la démonstration relève d'un cours de mathématiques et qui seront toujours satisfaites en physique (!), une fonction f (de la variable t), périodique de période T et de pulsation 2 T πω = est décomposable en une série de fonctions sinusoïdales de pulsations n.

• appelé phénomène de rünge-gibbs
• oscillations de la série au voisinage des points de discontinuité du signal
• signal carré
• séries de fourier
• série de fourier
• somme des énergies moyennes
• énergie lumineuse
• signal
• signaux

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• mathématiques
• mathématique

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M3A : ANALYSE DE FOURIER (1). ANALYSE DE FOURIER 1 : SÉRIESDE FOURIER. I : Les séries de Fourier. 1°) Le théorème de Dirichlet. Sous certaines conditions de ré ularité dont la démonstration relève d’un cours de mathématiues etui seront touours satisfaites enh siue (!), une 2 fonction f (de la variable t), périodique de période T et de pulsationω=est T décom osableen une série de fonctions sinusoïdales deulsations n.ω, avec n en- tier naturel et d'amlitudes déterminées, sous la forme : +∞ a 0 (t+) = ( a cosnωt+ bsinnωt ) ∑ n n , 2 n = 1 +∞ qu’on peut écrire aussi sous la forme : 0 ∑ ⎣ nn ⎦ . f(t) =c+ ⎡ ccos ( nωt−ϕ ) ⎤ n=1 Ce déveloementuni ueeléest aen série de Fourierdévelo ement de la fonction f (en abrégéD.S.F.). Les coefficients aet bsont lescoefficients de Fourierde la fonction f. n n Le terme de pulsationωest lefondamental. Les termes de pulsation nω(n2) sont lesharmoniques de rang n. +- f(t)) + f(t La série de Fourier converge vers f (t) partout où f est continue et versen 2 chaque point où f admet une discontinuité de première espèce. Qualitativement, nous retenonsue toute fonctionériodi uede ulsation ωest la somme de fonctions sinusoïdales de pulsationsω, 2ω, 3ω, etc … 2°) Propriétés des coefficients de Fourier. ¾Signification du terme constant : Le terme constant rerésente laenne de fvaleur mo: T a 1 0 c= =f=f(t)dt 0 . ∫ 2 T 0 (Ce qui représente l’amplitude de lacomposante continuedu signal f(t)). ¾Calculs des coefficients de Fourier : T T 2 2 a=f(t).cos(nωt).dtb=f(t).sin(nωt).dt  Pourtout n≥0, on a : n  et n ∫ ∫ T T 0 0 2 2 = + c n a n b n :amplitude de l’harmonique de rang n. b n ϕ= ϕphase à l’origine des temps telle que : tan( n ) . n a n Les bornes d'intégration peuvent être modifiées à condition d'intégrer sur tout intervalle de longueur T.

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M3A : ANALYSE DE FOURIER (1). ¾Forme complexe du D.S.F. : inωt−inωt inωt−inωt e+e e−e  Enécrivant :cos(nωt)= etsin(nωt)=, on peut mettre le D.S.F. sous la 2 2i α+T +∞ a−ib1 n n = =−ω forme : (t)=Cexp [ inωt ] , avec C n f(t) exp [ in t ] dt . ∑ ∫ n 2T n=−∞ α ¾Considérations de parité: T/ 2 4 a=f(t).cos(nωt).dt n ∫ Sif est paire, tous lesnulsb sontet n . T 0 T/2 4 b=f(t).sin(nωt).dt n ∫ Sif est impaire, tous lesnulsa sontet n . T 0 ¾Symétrie de glissement. Lors u’unefonction deériode T est chanée en son oosé artranslation d’une demi période, son D.S.F. ne comporte que des harmoniques impaires. 3°) Décroissance des coefficients de Fourier. Spectre de fréquence. Plus une fonction estré ulière, lusses coefficients de Fourier tendent rai- r dementvers zéro à l'infiniest de classe C , alors :. Plusrécisément, si te C r c f≤ et même : n ( ) r n c(f)⎯⎯⎯→0. n n →∞ n Ce résultat a en physique une conséquence très importante : si en théorie, le nombre des harmoniques est infini, il suffit souvent en pratique de calculer seulement les premiers termes. La suite trigonométrique ainsi obtenue donnera une approximation d'autant meilleure de la fonction f que l'amplitude des coefficients de Fourier diminuera plus vite si le rang augmente. ¾Spectre de Fourier d'une fonction f. c n  Ilest commode de représenter les séries cpar des graphiques n du type de la figure ci-contre, où l'on porte en abscisse le rang n de l'harmonique (ou sa pulsation n ω ) et on trace verticalement un 0 segment de hauteur c, égale à l'amplitude de l'harmonique. n  Chacunedes séries de segments obtenues constitue unspectre n de fréquence(ou spectre de Fourier) de la fonction f. 0 1 2 3 4...  Unspectre montre immédiatementl'importance relative des harmoniques. le sectre d'une fonction sinusoïdale ne comorte évidemmentu'une seule raie à la fréquence de la sinusoïde. Remarque : Le problème complet exige la connaissance des deux spectres aet b, qui équivaut à celle de l'ampli- n n tude cet de la phaseϕde l'harmonique de rang n. n n  Danscertains cas, la phase ne joue aucun rôle: ainsi, dans un son complexe, l'oreille distingue chaque harmonique par son amplitude et n'est pas sensible àϕ. n  Dansde tels cas, on pourra représenter le développement parun seul spectre : c. n Le vocabulaire employé en analyse harmonique est emprunté à lamusique : page 2/5

M3A : ANALYSE DE FOURIER (1). Un son musical est une fonctionériodi uedont lafré uencela détermine hauteuroids relatif des diversson. Le duharmoni ues détermineletimbre du son. Le sectre de fréuence est ditriches’il comorte de nombreux harmo- niques. 4°) Égalité de Bessel-Parseval.  Cetteégalité relie la valeur moyenne du carré du module de f à ses coefficients de Fourier : ∞ 1 ⎧ ⎫ 2 22 2 22 0 ⎨ ∑ n ⎬ ec c n =a n +b . = + (t)c c , av n 2 ⎩ n=1 ⎭ ¾Valeur efficace. Lavaleur efficaceS d’unsi nals(t) T-périodique est sa valeur quadratique eff 2 S=s t moyenne : eff ( ) (en anglais, cette valeur est appelée R.M.S. pour Root Mean Square). Interprétation énergétique de l’égalité de Parseval :  Dansde très nombreux contextes, l'énergie transportée par un signal est proportionnelle au car- ré de son amplitude:- énergie électrique proportionnelle au carré de l'intensité,  -énergie lumineuse proportionnelle au carré du champ électrique,  -énergie cinétique proportionnelle au carré de la vitesse, etc...  Lethéorème de Parseval exprime la façon dont l'énergie correspondant au phénomène périodi- que décrit par f se répartit entre les différents harmoniques. L’éner iemo enne associée à une fonctionériodi ueest éale à la somme des énergies moyennes associées à chacune de ses composantes de Fourier. 5°) Facteur de forme ; taux d’ondulation ; taux de distorsion. S eff = ¾Facteur de forme F : F est la valeur efficace du signal s(t)., où X eff s(t) ∞ 2 1 2 c+c 2 ∑ 0 n n=1 = D’après ce qui précède, on a : F . c 0 ond S eff ond δ= oùS ef st la valeur efficace de l’ondulatio ¾Taux d’ondulation δ : 0 , f  en du signal, 0 s(t) ond = + c'est-à-dire la partie du signal dépendante du temps telle que : s(t)s(t)s . ∞ 1 2 2 ∑ c n n=1 δ= D’après ce qui précède, on a : 0 . c 0 2 2 F=1+ Le facteur de forme et le taux d’ondulation sont liés par : 0 . Remarque :  Unsignal est d’autant mieux redressé que son facteur de forme est voisin de l’unité ou son d’ondulation voisin de zéro.

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M3A : ANALYSE DE FOURIER (1). ¾Taux de distorsion (harmonique) δ : h C’est le rapport de la valeur efficace des harmoniques (n > 1) créés par la distorsion à la valeur ∞ 2 c ∑ n n=2 δ = efficace du fondamental : h . c 1 Un amplificateur est d’autant plus linéaire que son taux de distorsion harmonique est voisin de zéro. II : Exemples de décomposition en série de Fourier. 1°) Signal carré symétrique. f A 4.A a=0 = On fixe f impaire : ∀ p p 0 , b 2 = et b 2 1 p p+ . (2p+1) -T/2 t T/2 4 ⎡ sin3 ω t sin5 ω t ⎤ f(t) = A⋅sin ω t+ + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Le D.S.F. s’écrit :. ⎢ ⎥ -A π ⎣ 3 5 ⎦ 4 A noter que l’amplitude du fondamental d’un signal carré estsupérieure(d’un facteur) π à celle du signal. La décroissance de l’amplitude des différentes 1 harmoniques est lenteLa recons-comme ). (varie n truction du carré à partir de ses composantes de Fou- rier nécessite un nombre élevé d’harmoniques, comme l’illustre le graphe ci-contre :  -n = 1 (1 sinusoïde !) en pointillés.  -n = 1 à 3 en gras.  -n = 1 à 21 en trait léger.  Onnote que la reconstitution s'améliore avec n ; il subsiste toutefois des oscillations de la série au voisinage des points de discontinuité du signal. Ces oscillations se resserrent au fur et à mesure que n, leur amplitude restant finie non nulle. Seule la surface de ce phénomène parasite tend vers zéro si n →∞ : cet "effet mathématique" est appeléphénomène de Rünge-Gibbs. 2°) Signal triangulaire symétrique.  f 8A A b=0a=0 p 2p + 1 2 . Avec ici f paire, ∀ p , 2p , a= [ (2p+1) π ] -T/2 T/2 8 ⎡ cos3ωt cos5ωt ⎤ f(t) = A⋅cosωt+ + +" Le D.S.F. s'écrit: 2 . ⎢ ⎥ - π ⎣ 9 25 ⎦  Anoter que l’amplitude du fondamental d’un signal triangulaire estinférieure (d’unfac- 8 teur )à celle du signal. 2 π 1 Les amplitudes des harmoniquesbeaucoup moins d’harmoniquesil faudracomme : 2 n pour reconstituer un signal triangulaire qu’un signal carré. page 4/5

M3A : ANALYSE DE FOURIER (1). 3°) Redressement "mono alternance". f(t) A ⎧ ⎡ T ⎤ A.sin( ω t) sit∈0; ⎢ ⎥ ⎪⎣ 2 ⎦ t  Soitle signal :f(t)= ⎨ . 0 T ⎡ T ⎤ T ⎪ 0 sit∈;T ⎢ ⎥ 2 ⎪ 2 ⎩ ⎣⎦ ∞ ⎧ 2 cos 1 1 ( 2pt ) ⎫ ∑ ⎨ ( ) ⎬  LeD.S.F. s’écrit : f(t) = A. + sinωt + 2 π2π1 − 4p ⎩ ⎭ p=1 4°) Redressement "double alternance". f(t)  Onprend ici f(t) = A|cos(ωt)|. A +∞ ⎡ ⎤ 2 4cos(2pωt) t f(t) =A+  LeD.S.F. s'écrit : ⎢ ∑ 2 ⎥ . π π p =1 1 − 4p 0 T T ⎣ ⎦ 2 5°) Impulsion rectangulaire récurrente.  Onconsidère le signal rectangulaire périodique f(t) τ α= A d’amplitude A et de rapport cycliquetel que : T ⎧ ⎡ τ τ ⎤ ∈ −+ +∈ ⎪ kTA si t;kT(k]) ⎢ ⎥ f(t) ⎣ = ⎨ 2 2 ⎦ . t -T T ⎪ T τ  T non ⎩ 0 si − 2 2 +∞ ⎡ sin ( nαπ ) ⎤ Le D.S.F. s’écrit : ⎢ ∑ ⎥ . (t) =A 1+ 2cos(nωt) nαπ ⎣ ⎦ n= 1  L’amplitudede l’harmonique de rang n peut être mis sous c n sin(β) c=2c β=nαπ la forme : n0 ., avec β  Onvoit que le spectre de fréquence (voir figure ci-contre) est réparti en un certain nombre de groupes, d’amplitude n rapidement décroissante et limités par les valeurs : β=Kπ , 0 12 … K soit les valeurs K (K entierK/ α entier).K entier, n= et Plus la largeur de l’impulsion est courte (αˆ0), mieux est définie sa position dans le temps. Mais corrélativement, l’enveloppe du spectre s’élargit (à K fixé, n si α le nombre) : K d’harmoniques d’amplitude notable augmente, rendant tout à fait floue la définition d’une fré- quence du phénomène !  Enparticulier, pour transmettre sans déformation notable les impulsions dans un système quel- conque, il faut que celui-ci présente une bande passante de plus en plus large (on considère qu’un appareil électronique de bonne qualité soit transmettre sans déformation au moins les deux pre- 2 ν = miers groupes de raies, soit jusqu’à la fréquence 2 . T Conclusion de cette étude : Plus un sinal est de durée brève,lus son sectre fréuentiel est étendu.ue varie brutalement,lus les harmoni-Plus un sinal ériodi ques élevées jouent un rôle important dans son DSF. page 5/5